Преобразование стационарного случайного процесса стационарной линейной системой

Рассмотрим преобразование стационарного случайного процесса стационарной линейной системой, описываемой линей­ным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

(формула 4.115)

 

Этому дифференциальному уравнению можно дать следующую инженерную трактовку. На вход стационарной линейной системы ­ L_c поступает стационарный случайный процесс Х( t ) имеющий следующие характеристики:

математическое ожидание-

корреляционная функция -

(или спект­ральная плотность )

Рисунок 4.8

 

На выходе стационарной линейной системы  L_c в установившемся режиме будет иметь место стационарный случайный процесс Y ( t ) . Требуется найти характеристики этого случайного процесса

математическое ожидание -

корреляционная функция-

(или спектральную плотность ).

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение  данного уравнения,  где вместо случайного процесса  Х( t ) нужно взять реализацию x ( t ), а вместо случайного процесса Y ( t ) реализацию y ( t ) будет содержать два слагаемых

Слагаемое у_с( t ) представляет так называемые соб­ственные колебания системы, если она выведена из равновесия. Если система L_c устойчива (а такие си­стемы чаще всего и рассматриваются в инженерной практике), то собственные колебания в системе со временем затухают. Будем в дальнейшем считать, что система L_c устойчива.

Слагаемое у_в( t ) представляет собой вынужденные колебания системы L_c , которые она совершает под воздействием входного сигнала-реализации x ( t )случайного  процесса  X ( t ). Поэтому если рассматривать участок вре­мени, достаточно удаленный от начала воздействия случайного процесса X ( t ) на систему L_c, когда практически все пе­реходные процессы в ней затухнут, то можно рас­сматривать только вынужденные колебания системы, чем мы и будем заниматься в дальнейшем.

 

Применим к уравнению (4.115) преобразование Лапласа и обозначим изображение реа­лизации входного процесса а изображе­ние реализации выходного сигнала

Рисунок 4.9

Так как вынужденные колебания устойчивой си­стемы L_с в установившемся режиме происходят в си­стеме спустя достаточно продолжительное время после начала воздействия входного сигнала, то на­чальные условия уже не будут оказывать воздействия. Поэтому уравнение (4.115) для изображений реали­заций случайных  процессов  х( t ) и y ( t ) будут иметь вид

 

(формула 4.116)

обозначим

 

тогда уравнение (4.116) можно переписать в виде

(формула 4.117)

Функция  называется передаточной функцией стационарной линейной системы. Таким образом, мы получим в пространстве изображений простую формулу: изображение выходного сигнала на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме равно произведению передаточной функции этой системы на изображение входного воздействия .

Рисунок 4.10

 

Воспользовавшись свойствами преобразований Лапласа, можно записать выражение, связываю­щее реализацию y ( t ) стационарного случайного процесса Y ( t ) на вы­ходе стационарной линейной системы L_с, с реализа­цией х( t ) стационарного случайного процесса Х( t ), подаваемого на вход этой системы:

(формула 4.118)

Где

- оригинал изображения

Функция g ( t ) называется весовой функцией ста­ционарной линейной системы. Выражение типа (4.118) называется сверткой функций g ( t ) и х( t ) и уже встре­чалось при рассмотрении композиции двух случайных величин: плотность распределения суммы двух независимых случайных величин Х₁ и Х₂ равна свертке плот­ностей распределения этих случайных величин Операция (4.118) сим­волически можно представить  так:

(формула 4.119)

Следовательно, имеет место соотношение

(формула 4.120)

которое связывает выходной сигнал (или его изобра­жение) с входным сигналом (или его изображе­нием).

Из теории автоматического управления известно, что если имеются две последовательно соединенные стационарные линейные системы,

Рисунок 4.11

изображенные на  рисунке  4.11 с передаточными функциями и

то передаточная функция всей системы L_cбудет

(формула 4.121)

этому соответствует схема, изображенная на рисунке 4.12.

Рисунок 4.12

Если имеется система, охваченная отрицательной обратной связью  изображенная на рисунке 4.12, то этой системе соот­ветствует схема в изображенная  на рисунке 4.13.

Рисунок 4.12

Рисунок 4.13

 

Если об­ратная связь положительная (рисунок 4.14), то этой си­стеме соответствует схема, изображенная на рисунке 4.15

Рисунок 4.14

Рисунок 4.15

Следовательно, изображение выходного сигнала на выходе системы (рисунок 4.12) будет иметь вид

(формула 4.122)

 

а на выходе системы,  изображенной на рисунке,  4.14 будет определяться как

(формула 4.123)

Таким образом, если известна передаточная функ­ция линейной системы G ( u ), то можно найти изобра­жение выходного сигнала, зная изображение вход­ного сигнала в установившемся режиме.

Ранее было показано, что стационарный случайный процесс представляет собой спектральное разложение, то есть сумму гармонических колебаний со случайной амплитудой и неслучайной частотой. По­этому рассмотрим реакцию системы L_c на гармони­ческое колебание и найдем выходной сигнал y ( t ).

Очевидно, что выходной сигнал в установившемся ре­жиме тоже будет представлять гармоническое коле­бание той же частоты . Покажем, что это колеба­ние будет определяться по формуле

(формула 4.124)

 

где - передаточная функция, у которой аргу­мент равен .

Для этого в уравнение (7.4.1) вместо Y ( t) подставим , а вместо Х( t )- соответственно  и будем иметь в виду, что

Таким образом, получим что

 

сокращая левую и правую части равенства на , получаем что

учитывая введенные  обозначения, получаем что 

(формула 4.125)

Таким образом, была  доказана справедливость равенства (7.4.14).

Функция  (где i- мнимая единица, а  - круговая частота) называется частотной характеристикой стационарной линейной системы; она равна передаточной функции  этой системы, в которой в качестве аргумента взято произведение . Частотная характеристика стационарной линейной системы определяет степень усиления (или ослабления) амплитуды гармонического колебания  на выходе этой системы.

Следовательно, равенство (4.121) можно записать в следующем виде:

 

(формула 4.126)

Тогда, если на вход стационарной линейной си­стемы подать элементарный стационарный случайный  процесс  в комп­лексной форме

 то по­лучаем

обозначим

(формула 4.127)

поэтому

Следовательно, подавая на вход стационарной ли­нейной системы стационарный случайный процесс в виде спектраль­ного разложения, на выходе этой системы получим стационарный случайный процесс тоже в виде спектраль­ного разложения

(формула 4.128)

 

 

где -комплексная случайная величина

  ( )

В этом выражении величина т_у определяется по формуле

(формула 4.129)

Найдем дисперсию комплексной случайной  величины

 

(формула 4.130)

 

 так как 

Следовательно, корреляционная функция стацио­нарного случайного процесса на выходе стационарной линейной си­стемы, имеющей частотную характеристику , будет иметь вид

(формула 4.131)

 

Таким образом, при преобразовании стационар­ного случайного процесса стационарной линейной системой каждая из координат ее спектра умножается на квадрат модуля частотной характеристики для соответствующей ча­стоты.

Величина может быть как больше еди­ницы, так и меньше. Таким образом, случайный процесс Y ( t ) на вы­ходе линейной системы претерпевает определенные изменения: все те частоты колебаний , которые имелись во входном воздействии Х( t ) остаются в случайном процессе Y ( t ) , однако дисперсия амплитуд этих колебаний может либо возрастать, либо уменьшаться. Таким об­разом, некоторые колебания усиливаются, в то время как другие ослабляются (отфильтровываются).

Так же, как это мы делали раньше, перейдем от дискретного спектра (при разложении корреляционной  функции  на конеч­ном интервале Т) к спектральной плотности (когда интервал разложения корреляционной функции ). Очевидно, что в этом случае спектральная плотность  будет равна спектральной плотности , умноженной на квадрат модуля частотной характеристики

(формула 4.132)

Таким образом, получаем довольно простое правило:спектральная плотность стационарного случайного процесса Y(t) на выходе стационарной линейной системы равна произведению спектральной плотности стационарного случайного процесса X ( t ) , подаваемого на вход системы, на квадрат модуля частотной характеристики этой системы

Следовательно, задачу, сформулированную в на­чале этого пункта, нужно ставить и решать следую­щим образом.

Даны:

1. частотная характеристика  (или передаточная функция ) стационарной линейной системы  Lc, то есть задана система постоянных чисел определяющих вид дифференциального уравнения

2. характеристики стационарного случайного процесса Х( t ) :    или  подаваемого на вход системы Lс.

Требуется найти характеристики случайного процесса Y ( t ) на выходе системы Lс

Последовательно находим:

1) математическое ожидание:

(формула 4.133)