Алгоритмы анализа динамической точности линейных автоматических систем

Количественная оценка качества системы составляет основу задачи анализа и ин­женерного расчета.

Для количественной оценки качества системы применяются показатели качества. Показатель качества - это число, характеризующее в принятой системе единиц свойство системы. Этот показатель зависит от характеристик системы, ее парамет­ров, входных функций и возмущений. Различают анализ по априорным и апостери­орным данным. Анализ по априорным данным состоит в определении показателей качества по известным вероятностным характеристикам входных переменных и па­раметров исследуемой системы.

Анализ по апостериорным данным заключается в оценке показателей качества системы на основании вероятностных характеристик, входных переменных и пара­метров, полученных после измерения.

Измерение позволяет уточнить априорную неопределенность характеристик для конкретных условий наблюдения и тем самым обеспечить более точное решение за­дачи.

 Основная оценка вероятностных показателей качества динамической системы на­чинается с определения сигнала ошибки (рис. 5.53,5.54).

Пусть m ( t ) - полезный сигнал; n ( t ) - помеха; X ( t ) - выходной сигнал системы.

Сигнал ошибки  - это отклонение фактического выходного сигнала от полез­ного сигнала m ( t ). Сигнал ошибки есть случайная функция времени, а при фиксиро­ванном времени - случайная величина.

Рис. 5.53. К постановке задачи анализа точности

Рис. 5.54. Сигнал ошибки.

На основании понятия сигнала ошибки вводят функцию потерь , характеризующую потери в качестве динамической системы в текущий мо­мент времени t . Функция потерь также случайная. Поэтому за показатель качества системы принимают Математическое Ожидание функции потерь - средний безусловный риск

где  дифференциальный двумерный закон распределения.

При различных формах функции потерь получаются конкретные пока­затели качества. В практических задачах анализа применяют следующие показатели качества:

1.СКО - среднеквадратическая ошибка

2.Вероятность превышения ошибкой заданного значения

При решении инженерных задач наиболее часто используется СКО. Из анализа рис. 5.55 можно сделать вывод, что ошибка состоит из ошибки, обу­словленной неполной «отработкой» полезного сигнала m ( t ), и ошибки, обусловлен­ной отработкой сигнала n ( t ).

Рис. 5.55. К  постановке задачи анализа точности автоматических систем.

Перейдем к соответствующим аналитическим рассуждениям. Имеем  мгновенное значение сигнала ошибки. Тогда после формального применения преобразования Лапласа мы получим что сигнал ошибки будет равен

(формула 5.58)

Передаточную  Функцию называют передаточной функцией сигнала ошибки.

Из (5.58) следует структурная схема формирования сигнала ошибки (рис. 5.56). Имеем  мгновенное значение сигнала ошибки.

Рисунок 5.56. Структурная  схема системы, формирующей сигнала ошибки

Найдем формулы, определяющие автокорреляционную функцию, спектральную плотность и дисперсию сигнала ошибки:

Поскольку m ( t) и n ( t ) не коррелированы, a X₁ ( t ) и X ₂ ( t ) порождены некоррелирован­ными сигналами и, следовательно, сами не коррелированы,

и, таким образом,

(формула 5.59)

корреляционная функция сигнала ошибки.

Преобразуя обе части (5.59) по Фурье, найдем

спектральная плотность сигнала ошибки.

Теперь легко записать выражение для дисперсии

Ясно, что Спектральная Плотность  сигнала ошибки состоит из двух составляющих (рис. 5.55):

1.определяемой  выражением

Данная формула описывает Спектральную Плотность сигнала ошибки через Спектральную Плотность полезного сигнала m ( t ) и через передаточную функцию ошибки  данная ошибка определяется тем фактом, что полезный сигнал m ( t ) из-за «конечности» и «непрямоугольности» Амплитудно-Частотной Характеристики отрабатывается не полностью, с искажениями (рис. 5.57));