Теперь легко найти Корреляционную Функцию и дисперсию выходного сигнала. Так как

(формула 5.45)

Так как при , из (5.45) находим что

(формула 5.46)

 

Имеем: дисперсия выходного сигнала устойчивой линейной стационарной систе­мы в установившемся режиме определяется как интеграл от произведения- квадра­та АЧХ системы на Спектральную Плотность входного сигнала.

Формулы (5.45) и (5.46) позволяют определить Корреляционную Функцию, Дисперсию и СКО выхода по Спектральной Плотности  входного и АЧХ системы. Dxx и   значительно проще выражаются через Спектральную  Плотность воздействия, чем через его Корреляционную Функцию.

Кроме того, при вычислении Dxx и  через в качестве характеристики сис­темы используется АЧХ системы, которая явным образом может быть выражена через параметры системы (ИПФ, как правило, явно не выражается через параметры системы).

Формула

(формула 5.47)

весьма  широко применяется при вычислении  дисперсии и СКО  выходного сигнала.

Рисунок 5.52

АЧХ и СПл на входе в систему.

Положим, что СПл воздействия , то есть на вход поступает сигнал типа белого шума. Тогда

при  

где К - коэффициент усиления системы. Представим

Тогда где

- эффективная полоса пропускания системы.

Величина  имеет размерность частоты. Она является одной из характеристик системы, связанной с ее АЧХ. Ясно, что если в пределах полосы пропускания САУ СПл входа постоянна, то такой сигнал можно считать белым шумом по отношению к этой системе.

 

Обратимся к задаче вычисления дисперсии выходного сигнала X ( t ) при дробно-рациональных спектральных плотностях по формуле (5.47). Если ограничиться клас­сами Случайных Функций Y ( t ), имеющих дробно-рациональные  СПл,  то

 (формула 5.48)

где и - многочлены.

Спектральную плотность, определяемую зависимостью (ф-ла 5.48), можно факторизовать, то есть представить ее в виде

(формула 5.49)

С учетом (5.49) зависимость, определяющую дисперсию выходного сигнала, можно представить в виде

(формула 5.50)

 

 

где -многочлены вида

Вычисление Dxx  пo формуле (5.50) сводится к вычислению стандартного интегра­ла вида (смотрите  приложение 4).

Теперь можно записать полный алгоритм расчета дисперсий выходных сигналов систем, заданных своими структурными схемами:

Й этап.

Нахождение Передаточной Функции замкнутой системы W ( s ) по Передаточным Функциям отдельных элементов системы.

Й этап.

 Нахождение спектральной плотности входного сигнала .

Й этап.

Проведение факторизации Спектральной Плотности  то есть представление ее в следующей форме

Й этап.

Вычисление интеграла

Й этап.

 Вычисление дисперсии

Если АЧХ и определены экспериментально, то дисперсия может быть найдена по формуле

значение последнего интеграла можно найти графически или вычислить на ЭВМ, пользуясь известными методами.

Для нестационарных систем для частного случая удается получить удобную связь статистических характеристик входа и выхода в частотной области. Поскольку корреляционная функция стационарного сигнала есть обрат­ное преобразование Фурье от спектральной плотности этого сигнала,  то

(формула 5.51)

Выражение (5.39) с учетом формул (5.40) и (5.51) приведем к следующему  виду

 

Включив в подынтегральное выражение сомножители

а также поменяв порядок интегрирования, получим что

(формула 5.52)

Отсюда видно, что  есть обратное преобразование Фурье, в котором роль временной переменной выполняет сдвиг от выражения в квадратных скобках из (5.52). В связи с этим по аналогии с теорией стационарных систем обозна­чим через

(формула 5.53)

текущую спектральную плотность установившегося выходного нестационарного сигнала, которая в силу формулы (5.52) должна представлять собой преобразование Фурье-от  по сдвигу

(формула 5.54)

 

 

Формула (5.53),  являющаяся своеобразным аналогом формулы (5.44) из теории стационарных систем показывает, как можно текущую спектральную плотность выходного установившегося сигнала Линейной Нестационарной Системы при стационарном входе вычислить с по­мощью ее Параметрической Частотной Характеристики.

Формула для вычисления текущей дисперсии выходного установившегося сигна­ла Линейной Нестационарной Системы при стационарном входе  легко получается из формул (5.52), (5.53) при

(формула 5.55)

где

(формула 5.56)

при подаче на вход Линейной Нестационарной Системы стационарного белого шума интенсивности  с корре­ляционной функцией

формулы для дисперсии выходного сигнала приобретают наиболее простой вид: из формулы (5.38) с учетом условия

из формул (5.55), (5.56) получаем что

Для Линейной Нестационарной Системы n-го порядка получаем что

(формула 5.57)

связь корреляционной функции выхода и корреляционной функции входа должна описываться дифференциальным уравнением порядка 2п. Действительно, если бы удалось найти оператор , соответствующий уравнению (5.57), который должен быть также n-го порядка, то

и

 

так как  операции  линейны и выполняются по взаимно независимым перемен­ным ,таким образом получаем что

где  оператор связи корреляционной функции входа и выхода, равный произведению двух операторов n-го порядка, в силу чего его порядок равен 2п и такого же порядка должно быть дифференциальное уравнение, связываю­щее