А его корреляционная функция примет вид

(формула 4.57)

В выражениях (4.56) и (4.57)

следовательно, тогда зависимость (4.38)  можно представить в следующем виде

(формула 4.58)

Введем в рассмотрение новую функцию,  ко­торую определим следующим образом:

(формула 4.59)

Таким образом, данная функция является четной функцией аргумента  и определена для любых значений этого аргумента -как положительных, так и отрицательных.

Рисунок 4.8

На рисунке 4.8 представлены графики функций и Значения функции  при положительных значениях  в два раза меньше значений спектральной плотности  при тех же значениях аргумента .

Функция  называется спектральной плот­ностью стационарного случайного процесса в комп­лексной форме. Она обладает следующими тремя свойствами:

1.

То есть данная функция является неотрицательной

2.

То есть интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии случайного процесса.

3.

                то есть данная функция является четной.

С учетом (4.59) выражение для  (4.58) примет следующий  вид

(формула 4.60)

После соответствующего преобразования выражения (4.39)  получаем что

Произведя деление левой и правой частей полученного  равенства на 2, и полагая аргумент  принадлежащим всей числовой оси, получим что:

(формула 4.61)

Выражения (4.60) и (4.61) представляют собой преобразование Фурье спектральной плотности и корреляционной функции  в комплексной форме.

Ранее  было показано, что корреляционная  функция  должна обладать свойством положительной определенности. Покажем, что это свойство выполняется при условии, что спектральная плотность .

По формуле 4.38 имеем что

где

 тогда получаем что

где (В)- любая область интегрирования, принадле­жащая интервалу  - любая функция ар­гумента t.

Введем обозначения

тогда условие положительной определенности корреляционной   функции  примет следующий  вид

так как  подынтегральная функция является положительной величиной.

Условие является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы корреляционная функция была положительно определенной.

Таким образом, с помощью преобразования Фурье в комплексной форме устанавливается однозначное соответствие между корреляционной функцией  стационарного случайного  процесса  и его спектральной плотностью . Аналогично, использование  данного  преобразования также позволяет устанавливать однозначное соответствие между спектральной плотностью  стационарного случайного процесса и его корреляционной функцией .