Определение корреляционной функции и дисперсии через спектральную плотность входного сигнала

     С учетом формулы

получаем:

При  получаем:

     Полученные результаты обобщаются на многомерный случай. Если ввести матрицу

,

,

,

,

где ,  – матрицы спектральных плотностей; , – матрицы взаимных спектральных плотностей.

Лекция 4

     Пример1. Рассмотрим статистические характеристики установившейся ошибки стационарной системы в частотном представлении.

     Пусть на вход линейной стационарной системы поступает суммарный сигнал X(t) = Λ(t) + N(t), где

Λ(t) – полезный сигнал, стационарные и стационарно связанные случайные          

N(t) – помеха,                 процессы с известными математическими        

                                         ожиданиями и спектральными плотностями.

Требуется найти статистические характеристики ошибки системы в стационарном режиме: математическое ожидание, спектральную плотность и дисперсию.

Структурная схема

 

Здесь число входов k  =2, число выходов m = 1.

Математическое ожидание: .

Передаточная функция ошибки по первому входу (по L(t)):

W_e1(p)= W(p) – W₀(p).

Передаточная функция ошибки по первому входу (по N(t)): W_e2(p) = W(p).

m_x1– математическое ожидание для L(t),

m_x2– математическое ожидание для N(t).

Спектральная плотность: .
Для некоррелированных сигналов L(t) и N(t): , – спектральная плотность полезного сигнала, – спектральная плотность помехи.	(*)
Дисперсия: . Для случая некоррелированных входных сигналов L(t) и N(t): .	(*)

       Отметим, что полученные соотношения для статистических характеристик ошибки системы справедливы тогда и только тогда, когда рассматривается устойчиваястационарная линейная система в установившемся режиме при стационарных и стационарно связанных входных случайных сигналах.

Замечание. Для определения дисперсии выходного сигнала системы вычисляются интегралы вида (*). Если спектральные плотности входных сигналов  представляют собой дробно-рациональные четные функции от w, вычисление интегралов (*) можно свести к вычислению интегралов стандартного типа. Значения этих интегралов получаются непосредственно через параметры спектральных плотностей входных сигналов и частотных характеристик.

Стандартный интеграл имеет вид: ,

где A_n(w) = a₀ wⁿ  + a₁ w^{n –1}+…+ a_n  ;

B_n(w) = b₀ w^{2n –2}+ b₁ w^{2n –4}+…+ b_{n –1}.

     Значение этого интеграла определяется по формуле: _.

– гурвицев определитель для полинома A_n(w). Определитель  формируется также как и , но с заменой первого столбца на b₀ , b₁ , … b_{n –1}.

 

Пример 2. На вход линейной стационарной системы подается сигнал

X(t) = Λ(t) + N(t).

Λ(t) – полезный случайный стационарный процесс со спектральной плотностью .

 Помеха N(t) – белый шум со спектральной плотностью S0 .

Найти дисперсию ошибки системы в установившемся режиме.

 

Решение

Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно входного сигнала

.

Дисперсию ошибки системы определим по формуле (*), считая для идеальной системы ,

где

.

Общая формула:

.

Здесь Dn – матрица Гурвица:

, .

Тогда       

 

 .

 

 .  

ФОРМИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА

Формирующий фильтр –динамическая система, в которой при входном сигнале в виде белого шума N(t) имеет на выходе случайный сигнал X(t) с заданными статистическими характеристиками

При рассмотрении задачи формирования случайного сигнала X(t) достаточно сформировать только центрированный X(t), так как для формирования m_x(t) достаточно прибавить некоторую неслучайную функцию.

Формирующий фильтр удобен в статистическом анализе систем управления с произвольными случайными входами, т.к. вместь входного сигнала ставится формирующий фильтр с белым шумом на входе. В результате получится эквивалентная система.

Формирующий фильтр (ФФ) используется также и при моделировании.

В общем случае задача построения ФФ не является простой. Например, когда данный случайный процесс X(t) имеет произвольную непрерывную корреляционную функцию, задача построения ФФ не решается. Решение имеется лишь для некоторого класса X(t). Однако, используя приближенные корреляционные функции или аппроксимации, этот класс существенно расширяется.

Задача решается точно, когда X(t) – стационарный процесс с дробно-рациональными спектральными плотностями.

Для определения линейного формирующего фильтра используется соотношение, устанавливающее связь между спектральными плотностями входного и выходного сигналов.

Пусть – спектральная плотность на выходе ФФ. – спектральная плотность на входе.  – частотная характеристика ФФ.

Так как , то .

Таким образом, , (в которой все корни в левой полуплоскости).

Пример3. – спектральная плотность X(t) ,  – спектральная плотность на входе.

Тогда .

Таким образом, .

Аналогично для многомерного случая

.

Выражение разрешимо, если  – дробно рациональные функции.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ МЕТОДАМИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Рассмотрим группы методов, когда выходные сигналы представляют собой стационарные случайные процессы.

Здесь выполняется тройка условий: стационарный случайный процесс; устойчивая стационарная система; устойчивый режим.

Рассмотри только определение  и , так как вычисление математических ожиданий – тривиальная задача.

1) Модель процессов системы

.

Введем новую переменную .

Тогда .

Так как , то

.

Эту формулу можно переписать так:

, ,

.

Таким образом, получаем две одинаковые системы:

первая система: вход  – выход ;

вторая система: вход – выход .

 

.  Здесь двухкратная модель системы.

         

2) Применение эквивалентной модели.

     Рассматриваем последовательное соединение формирующего фильтра и данной линейной стационарной системы.

Обозначим через g_э (×) весовую функцию этого соединения, т.е. эквивалентной системы.

     Тогда .

 

Здесь – корреляционная функция входного сигнала.

В результате . Вводя новую переменную: , получим . Нижний предел можно расширить, т.к. по условию физической реализуемости при t< .

Имеет место следующий порядок в исследовании этой схемы:

– по спектральной плотности входного сигнала X(t) определяется частотная характеристика формирующего фильтра (ФФ);

– затем следует взять два одинаковых набора: ФФ + данная система;

– на вход одного набора подается d(t);

– на вход другого набора подается d(t–t);

– выходные сигналы перемножаются и интегрируются при t ® ¥ c умножением на .

     Таким образом, получается при t = . Если  меняется, то производится многократное интегрирование.

Дисперсия при = 0:  (Нужен один набор, но сквадратором.)

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

1) Модель процессов системы

– Математическое ожидание  (было).

Здесь на вход системы с  подается входной сигнал .

– Дисперсия

Пусть , тогда

.

Получается следующая процедура.

– На вход модели системы подается сигнал  и формируется на выходе сигнал . Процедура повторяется n-раз при разных , k = .

– По записи n кривых  определяется для заданного t =T функция (осреднение).

– На вход модели системы подается сигнал в виде функции и записывается выходной сигнал; значение выходного сигнала в момент  =T равно дисперсии выходного сигнала для этого момента времени.

Таким образом, для определения одного значения дисперсии выходного сигнала (при  =T) требуется n-кратное моделирование данной системы и получение промежуточной функции .

 

 

МАТРИЦА КОВАРИАЦИЙ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ

НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

 

Рассмотрим многомерную эквивалентную систему

= F(t)Λ(t) + D(t)N (t), Λ(t₀)= Λ₀

                                 Y(t) = C(t)Λ(t) .                                                (1)

 

Здесь Λ(t) – составной вектор (вектор системы + вектор ФФ). Начальное значение Λ(t₀) задано математическим ожиданием  и корреляционной функцией . N (t) – вектор белого шума с математическим ожиданием и матрицей интенсивностей L(t), причем N (t) некоррелирован с Λ(t₀). Y(t) – исследуемый векторный выходной сигнал. F(t), D(t) , C(t) – заданные матрицы.

     Ставится задача: определить матрицы ковариаций векторов Λ(t), Y(t) для :

                                                    .                                                  (2)

От общей задачи перейдем к задаче модифицированной для центрированного , т.е.

= F(t)Λ⁰(t) + D(t)N⁰ (t), Λ⁰ (t₀) =

                                 Y⁰(t) = C(t)Λ⁰ (t) .                                                (3)

 

Далее индекс «0» опускается.

     Для решения поставленной задачи запишем производную искомой матрицы .

.

 

Рассмотрим слагаемое , а точнее , .

Таким образом,

 

Тогда,

.     (4)

(4) – эквивалентно l² скалярных уравнений, где l– размерность матрицы .

В силу симметричности матрицы г число их сокращается до .

С учетом соотношения Y(t) = C(t)L(t), получаем

.

  

Пример 4. Система с выходом y(t) имеет модель I порядка:

                                                                        (*)

­ - случайный процесс с корреляционной функцией .

 Определить ­ выходного сигнала ­ .

Решение.

1. Выберем формирующий фильтр для стационарного центрированного сигнала  со спектральной плотностью ,

(соответствует во временной области ). Частотная характеристика формирующего фильтра определяется из соотношения . Пусть , тогда .

 

 

Дифференциальное уравнение формирующего фильтра:

                                                                                          (**)

2. Эквивалентная система есть соединение (*) и (**) и имеет второй порядок. Вектор состояния . Тогда система (*) и (**) имеет вид

где ,

, .

Интенсивность белого шума .

Матрица ковариаций в общем случае .

В нашем случае .

.

3. Уравнение для :

Подставим выражение  с учетом .

.

Соответственно три уравнения:

Последние два уравнения можно моделировать.