Свойства стационарных процессов авторегрессии и скользящего среднего

1. Процессы авторегрессии. Конечный процесс авторегрессии выражается через прошлые значения x_t в виде

 

                           ,                           (1)

или и может быть представлен как бесконечный процесс скользящего среднего

                                               .                                (2)

(Авто)Ковариационная функция процесса получается умножением (1) на

 

.

Переходим к операции математического ожидания и с учетом получим

                               .                              (3)

Разделим (3) на g₀ (дисперсию), получим аналогичное разностное уравнение для (авто)корреляционной функции

.

     Процесс авторегрессии первого порядка

                                                                                            (4)

может быть представлен в виде бесконечного процесса СС (2):

                                .                           (5)

Для модели (5) условием стационарности является сходимость ряда весов , т.е. параметр а₁ стационарного процесса АР(1) должен удовлетворять условию |а₁|<1.

В модели (5) оператор эквивалентен передаточной функции дискретной системы, генерирующий процесс АР(1).

     Характеристическое уравнение системы имеет вид:

                                              .                                                   (6)

Следовательно, стационарность процесса АР(1) обеспечивается при условии, что корень (6) лежит вне единичного круга.

     Рассмотрим процесс авторегрессии второго порядка

.

      Характеристическое уравнение системы имеет вид:

                                              .           

Для стационарности нужно, чтобы корни были вне единичного круга.

Условия: а₁ + а₂ < 1, а₂ -  а₁ < 1, -1 < а₂ < 1, |а _i|<1.

     Для приближенной оценки порядка равторегрессии используют частную автокорреляционную функцию по следующей схеме.

     Пусть а _ll -   последний коэффициент, неравный нулю; а _bj -  промежуточный коэффициент.

     Зависимость значений а _ll ,рассматриваемых как функция l  , называется

частотной автокорреляционной функцией. Значение а _kk  частотной автокорреляционной функции можно найти, решая систему уравнений

 

.

Задаваясь значениями , можно построить частотную автокорреляционную функцию процесса.

2. Процессы скользящего среднего

     Процесс СС порядка k имеет вид:

.

Автокорреляционная функция СП СС(k) находится следующим образом: .

Так как e_t -  независимая случайная величина с дисперсией , то , а его автоковариационная функция имеет вид

 

.

     Корреляционная функция СП СС

 

.

 

   обрывается на сдвиге l, т.е. при l  > k  .

     Автоковариационная функция находится следующим образом.

Для получения условия обратимости СП СС (т.е. сходимости) представим процесс

в обращенном виде т.е.

.

     Для сходимости необходимо выполнение условия -1 < с₁ < 1, что эквивалентно тому, что корень характеристического уравнения 1-  с₁q =0 лежит вне единичного круга.

     Условия обратимости СП СС второго порядка

Получается решением характеристического уравнения. Корни должны быть вне единичного круга, поэтому появляются условия

                                         с₂ + с₁< 1

с₂ -  с₁ < 1, -1 < с₂ < 1.

3. Процессы авторегрессии -  скользящего среднего

СП АРСС (р, k)имеет вид:

 или

                                      .                                   (1)

Умножим (1) на  и переходим к Е(·), получим

.

Для больших сдвигов l  ≥ k+1 все слагаемые g_xl (·) º 0 и ковариационная функция смешанного процесса совпадает с ковариационной функцией СПАР

                   ,                   l  ≥ k+1

                 .           l  ≥ k+1

Первые две автокорреляции через параметры а _i , с _i

 

.

 

Таблица моделей

№	Обозначения в РФ	Обозначения за рубежом	Наличие дополнительного сигнала Х
1	Скользящее среднее, СС	МА	МАХ
2	Авторегрессия, АР	АР	ARХ
3	Проинтегрированное скользящее среднее, ПСС	IMA	IMAX
4	Авторегрессия- скользящее среднее,                    АРСС	ARMA	ARMAX
5	Авторегрессия-Проинтегрированное скользящее среднее,              АРПСС	ARIMA	ARIMAX

Лекция 2

В условиях неполной информации о природе стохастических явлений и процессов задача построения адекватной и экономичной модели должна решаться итеративным путем, т.е. чередование этапов выдвижения гипотезы о типе модели на основе теоретического исследования оценивания

модели по экспериментальным данным, проверки ее согласия, имеющимися данными и повторение этого цикла в случае необходимости.

Структура этапов:

 

 

    

 

Например, если в реализации СП просматривается нестационарная составляющая, то подходящей моделью является АРПСС (p, d, k).

Задача определения АРПСС т.е. параметров p, d, k , решается в два этапа:

а) получение конечной разности от x_t  такого порядка, какой нужен, чтобы обеспечить стационарность исследуемого СП. Выбор подходящей степени разности решается построением корреляционной функции для СП , причем обычно достаточно d = 1, 2.

Из сравнения автокорреляционных функций для стационарного и нестационарного СП видно, что нестационарность проявляется в медленном затухании выборочной автокорреляционной функции. Для стационарного процесса автокорреляционная функция быстро затухает при средних и больших задержках l .

Начальные оценки параметров модели находят, используя автокорреляционную функцию процесса .

Пусть первый вариант пробной модели представлен как ПСС (0, 1, 1): . Таким образом, для СП можно использовать модель СС (1). Здесь нужно оценить один параметр с₁ по выборочному значению автокорреляции r₁ для ряда первых разностей Ñ х _t  .

Из выражения для r₁ для СП СС получаем

 

    Þ                                                          

(*)

,

 

Пример. На основе теоретических значений автокорреляционных функций через параметры моделей имеем (выборочные значения) .

Подстановка в (*) дает с₁ » 0.48, . Подходит только первое с₁ » 0.48, так как -1 < с₁ < 1.

Вторым пробным вариантом модели можно взять АРСС (1, 1)

. Параметры можно найти по двум первым ковариациям (корреляциям)

.

Пусть выборочные корреляции известны и равны ; значения параметров а₁ = 0,83, с₁ = 0.48. Это дает пробную модель (1, 1)

 

.

Модель АРСС (1, 1) содержит еще один неизвестный параметр – уровень процесса µ и его можно описать в виде:

 

 

,

где с₀ = µ(1- а₁).

Для стационарного процесса оценкой µ является среднее значение х _{t :} .  Для примера    Тогда с₀=2,90.