Начальные оценки остаточной дисперсии.

Оценку дисперсии  для пробных моделей можно найти, подставляя выборочное значение дисперсии в выражение для нулевого члена автоковариационной функции .

Тогда для СП АРСС (1, 1) оценка  имеет вид:

и .

Для оценки остаточной дисперсии модели ПСС (0, d, 1) необходимо использовать разностные значения СП в виде .

       Оценки дисперсии

.

       Для подбираемой модели в примере .

(n = N  -1 =196). Подставляя в выражение , получим:

и .

       Таким образом, получены две модели:

АРСС (1, 1): x_t  - 0,83 x_{t -1}= 2,9 + e_t  - 0, 48e_{t -1} , .

ПСС (0,1, 1): Ñx_t  = e_t  - 0, 48e_{t -1} , .

       Для модели ПСС (0,1, 1) были получены два значения параметров с₁ , которые дают две линейные модели.

     Вообще для  АРСС и СС характерна многозначность моделей, определяемых по данной автоковариационной функции. Причем единственная модель отбирается из условий, обеспечивающих стационарность и обратимость процесса.

КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

     Речь идет о представлении случайного процесса суммой элементарных случайных процессов.

     Пусть Х(t):

                                          Х(t)= m(t)+    ,                                                                             (1)

- независимыеие (некоррелируемые) случайные величины с ,

- некоторые неслучайные функции.

     Такое представление (1) – каноническое.

Слагаемые – элементарные случайные процессы, – коэффициенты канонического разложения, – координатые функции.

     Например, – элементарный процесс, где А– случайная амплитуда.

Найдем корреляционную функцию случайного процесса Х(t) в (1), причем возьмем его в комплексной форме: Х(t)=Y(t)+jZ(t), Y(t), Z(t) – действительные случайные процессы, j= .

     Тогда  

                                                                                                             ,                                                  (2)

где  – центрированные случайные величины, т.е. ,

сопряженный к .

     Если центрирован, то ,

 Формула (2) примет вид:

      .    (3)

Так как независимые случайные величины, то , если  или равно при , где  – дисперсия случайной величины  с .

     Тогда (3) примет вид:

– каноническое разложение корреляционной функции.

ЧАСТОТНОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Частотное разложение на конечном интервале

     Пусть Х(t) – стационарный случайный процесс на интервале [–Т, Т] c корреляционной функцией , [–2Т, 2Т]. Здесь = t₁ – t₂ и t₁  [–Т, Т], t₂  [–Т, Т].

     Представим  рядом Фурье в комплексной форме с периодом 4Т:

                                                                               ,                                           (1)

где .

С другой стороны

                                                                                                                              (2)

     С учетом

                                                                                                                                                                                               (1)

имеет вид:

                                                                       .                                  (3)

     Таким образом, (3) – есть каноническое разложение,

Каноническому разложению (3) соответствует каноническое разложение случайного процесса:

                                                                                  ,                                    (4)

где некоррелируемые случайные величины с   и  из формулы (2).

Выражение (4) – частотное или спектральное разложение стационарного случайного процесса. Здесь координатная функция . Амплитуды гармоник не коррелированы и .

Частотное представление на бесконечном интервале времени.