Рассмотрим модели для стационарных СП.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Лекция 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рассматриваются величины х = х (t),которые принято называть процессами. Если значения х (t) ­– случайные величины, то х (t) ­– случайный процесс.

Строгое определение. вероятностное пространство, некоторое множество моментов времени. Пусть каждому поставлена в соответствие функция х (t) =f(t, ), t , со значениями в m - мерном пространстве (m ) такая, что при каждом фиксированном t х (t) =f(t, ) является случайной величиной. Такая функция и есть случайный процесс.

Таким образом, случайный процесс есть функция двух переменных t , . Как следует из определения, при фиксированном t ,   х (t) .

Если фиксировать , то получим х (t) =f(t, ), называемую реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайного процесса.

Если множество является конечным, определение процесса равносильно определению многомерной случайной величины.

Пусть , тогда можно положить х _i = х (t_i),  и безразлично, что задавать: случайную величину   или функцию х (t), . Если множество  конечно или счетно, то случайный процесс х (t) есть случайный процесс с дискретным временем и случайной последовательностью. Если  некоторый интервал,  конечный или бесконечный, то случайный процесс х (t) – случайный процесс с непрерывным временем.

Анализ случайной последовательности проводится для оценивания и восстановления по данной реализации свойств процесса, который генерирует эту последовательность. Эта задача аналогична задачам оценки свойств генеральной совокупности по случайной выборке наблюдений.

При анализе случайной последовательности (СП), или случайного процесса, предполагается, что СП является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов распределения:

ü математического ожидания E(x_t);

ü дисперсии E(x_t – Ex_t)² ;

ü (авто)ковариации E[(x_i – Ex_i)(x_j – Ex_j)].

Случайный процесс стационарен, если его вероятностные свойства зависят только от .

Важный класс СП, у которых первые и вторые моменты не зависят от времени – это СП стационарные в широком смысле:

Ex_t ,  для t ,

а автоковариационная функция зависит только от временного сдвига

k = (t – s):

.

Используем также предположение об эргодичности относительно дисперсии, автоковариационной функции и других характеристик.

Свойство эргодичности позволяет оценивать выборочные характеристики по одной реализации, заменяя осреднение по множеству реализацией осреднения по времени

,

,

 

Обычно делят на .

Автокорреляционная функция

Об эргодичности и неэргодичности СП может говорить вид автокорреляционной функции: при – стационарный эргодический процесс; если при – обычно признак неэргодичности.

Практически наблюдаемые реализации случайных последовательностей редко бывают стационарными, и обычно выделяют компоненты:

– тренд или системные изменения (длительный период);

– колебания относительно тренда с некоторой регулярностью;

– эффект сезонности;

– случайные компоненты.

Рассмотрим эти компоненты.

Тренд – относительно устойчивое систематическое изменение случайной последовательности в течение длительного периода, которое может проявляться в различных характеристиках (среднее значение, дисперсия).

Тренд нередко трудно определить, так как трудно определить понятие «длительный период». Он может быть отрезком длительного колебания и т.п. Поэтому нужно конкретно определять длину СП.

Понятие сезонности используется для описания периодических компонент СП, связанных с внешними причинами. После выделения сезонной компоненты и тренда случайные последовательности могут представлять регулярные колебания и содержать две компоненты: систематические колебания и чисто случайные колебания типа белого шума.

Выделение отдельных составляющих различной периодичности есть предмет анализа СП в частотной области и во временной области.

 

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Белый шум :  СП с независимыми случайными величинами с (Е (·) = 0)

Е ( ) = 0 и .

Линейный фильтр:

                          ,                               (1)

=const – математическое ожидание (для стационарного процесса),

 весовые коэффициенты.

Модель (1) можно представить в другом виде при использовании оператора сдвига назад q по формуле

                                 .                                     (2)

Обратный оператору сдвигу назад – оператор сдвига вперед

                              .                                  (3)

Для представления дискретных линейных процессов в операторной форме используется также разностный оператор со сдвигом назад :

.

Обратный ему оператор S (суммирование):

               .             (4)

В операторной форме модель (1)

                                                 (*)

где – передаточная функция линейного фильтра:

1+ .

Условие стационарности: .

Существует эквивалентноепредставление модели линейного фильтра через прошлые значения :

              –                (5)

форма регрессии на прошлые значения. Выражение (5) в операторном виде  или

                                          ,                                             (6)

где .

Умножая (6) на , получим с учетом (*)

Отсюда  и .

Наряду с условием стационарности вводится независимое от него условие обратимости процесса: .

Общий линейный процесс (*) или (5) при конечном числе параметров  и дает два важных частных случая моделей.

Если линейный процесс (*) имеет только kпервых весов, неравных нулю, то – процесс скользящего среднего порядка k (СС (k)):

,

c_i – тоже набор весовых коэффициентов.

Используя оператор сдвига назад, можно определить оператор скользящего среднего порядка k в виде:

.

Тогда модель скользящего среднего в операторной форме имеет вид

                                             .                                             (7)

Эта модель содержит k +2 неизвестных параметра: , , которые оцениваются при выбираемой реализации СП.

Второй тип модели – процесс авторегрессии отрезка р (сокращенно АР(р)), получаемой от регрессии прошлых значений с учетом только р первых ненулевых весов:

.

В операторной форме

,

где – оператор авторегрессии. Здесь р+2 неизвестных параметра: , .

Если записать , то процесс авторегрессии можно интерпретировать как выход линейного фильтра с передаточной функцией , с выходом .

Между двумя моделями есть связь.

Пусть k =1, т.е. СС(1):

,

или ,    или ,   или

 .

Следовательно, процесс скользящего среднего первого порядка может быть описан моделями бесконечного процесса авторегрессии, где веса .

Поэтому, если СП ­­– скользящее среднее, то использование авторегрессии потребует слишком большого числа параметров. Аналогично можно показать, что использование скользящего среднего для описания процесса авторегрессии дает неэкономичную модель. Для достижения большей эффективности и экономичности подбираемых моделей часто используют обобщенную модель, куда входят модели авторегрессии и скользящего среднего.

Смешанный СП АР-СС порядка (р, k) (АРСС) представляется следующей моделью:

или

                                    .                             (**)

Эта модель содержит p + k+2 неизвестных параметров

Выражение (**) можно записать в виде:

.

Рассмотрим модели для стационарных СП.

Можно сделать обобщение для некоторых СП. Например, если удастся получить стационарный СП с помощью разностного оператора , подбирая подходящий порядок d разности.

Таким образом, если x_t  нестационарный однородный СП и w_t процесс образован как , и является стационарным, то к процессу w_t

можно подобрать АР, СС или АРСС.

Обобщенная модель, описывающая однородный нестационарный процесс, имеет вид: Иначе .

Полученная модель позволяет описывать как нестационарный, так и стационарный СП и называется СП авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) порядка (p, d, k).

СП АРПСС можно получить по структуре в соответствии с формулой

.

 

Также СП АРПСС :

содержит как частные случаи стационарные модели АР, СС и смешанную модель АРСС, если d  = 0, a w_t  = x_t - µ.