Связанных случайных процессов

     Пусть X(t) и Y(t) – стационарные и стационарно связанные случайные процессы с .

     Рассмотрим X(t), Y(t) на [–T, T], ,  [–2T, 2T].

Запишем  через преобразование Фурье с периодом 4 T

                                                                                        ,                                (13)

                                       .                    (14)

     Для рассмотрения при Т → ∞ введем функцию

                                            ,                                        (15)

Dw = .

Тогда

.	(16)
Подставляя (16) в (13) →	(17)
Для (16)  с учетом (14)	(18)
При Т → ∞                                  ;	(19)
Взаимная спектральная плотность X(t) и Y(t), между ними преобразование Фурье. Для X(t) – вектор:  – n n – матрица спектральной плотности:                            .	(20)
Если X(t) – вектор,  то  – n х n – матрица спектральной плотности: .	(21)

     Белый шум – стационарный случайный процесс с постоянной спектральной плотностью.

     Пусть белый шум V(t).

     Корреляционная функция белого шума:

Поскольку , то по формуле (8)   .

     Пусть  – импульсная функция.

                                      голоморфная функция на замкнутом контуре

                                          (в ряд Тейлора)

Тогда	(22)
На основании свойств -функции из (22) получим	(23)

Это означает, что сечения случайного процесса типа белого шума являются некоррелированными случайными величинами с бесконечными дисперсиями

.

(24)

Это удобная математическая абстракция. В некотором диапазоне частот белый шум реально есть.

     Рассмотрим случайный процесс V(t) с математическим ожиданием

и , – обычная функция.

Такой процесс сохраняет свойство некоррелированности различных сечений (  – некоррелированности). Однако он представляет собой нестационарный случайный процесс, поэтому процесс V(t) – нестационарный белый шум и – интенсивность.

     Можно представить белый шум в виде вектора

V (t)=[ V₁, V ₂, … V_n  ]^Т .

Тогда .

Корреляционная матрица

, где  – матрица интенсивностей.

ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫМ ОПЕРАТОРОМ

     Рассмотрим пример одновходной одновыходной одномерной системы.

     Пусть X(t) – входной сигнал с  и .

Требуется найти  и  выходного сигнала Y(t).

                           система управления

Таким образом: X(t)                            Y(t). Это означает, что каждой реализации x(t) сопоставляется y(t) посредством действия на x(t) оператором системы обозначим его А.

     Тогда Y(t) = А _t  [X(t)].

С учетом коммутативности линейных операторов E и А _t  

С учетом коммутативности линейных операторов E и А t	(1)
Корреляционная функция выходного сигнала
	(2)
Тогда	(3)
По коммутативности E и А t →
Окончательно	(4)

 

     Многомерный случай (Многовходная многовыходная многомерная система)

Пусть X(t) – n-вектор, Y(t) – m-вектор,  преобразуется в соответствующим оператором, т.е. , –

Коэффициент. Или

Y(t) = А t  [X(t)],

(5)

где А _t  – m n  матрица операторов.

     Задача преобразования входных случайных сигналов многомерной системой. Даны статистические характеристики входных сигналов:

;

корреляционная функция

Матрица операторов .

Требуется найти статистические характеристики входных сигналов:

корреляционную функцию Y(t) определяется с учетом коммутативности операторов

взаимные корреляции функций

Формула для математического ожидания E и А:

.

Формула для корреляционной функции

Формула для взаимнокорреляционной функции

 Аналогично:

 Статистические характеристики выходных сигналов

Элементарных звеньев

Математическое ожидание и корреляционная функция выходного

сигнала суммирующего звена

Пусть на вход суммирующего устройства поступает n  случайных сигналов  с  и ,  .

Суммирующее звено осуществляет операцию суммирования входных сигналов и оператор для каждого сигнала равен 1.

Тогда ,

 

В частности, когда входные сигналы являются некоррелируемыми случайными процессами имеет место: 

     Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала дифференцирующего звена

Здесь ,

(*)

так как , то для (*) ,

Это можно обобщить и на n  производных.

     Заметим, что обычное понятие производной для случайной функции X(t) не применимо.

     Производная случайной функции X(t) есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента в среднем квадратическом смысле:

.

Предел в среднем квадратическом (сокращенно) означает, что .

 

                      в обычном смысле

         

     Существование  и .

Пример.

Пусть X(t): и . Найти .

Решение.

,  

где . При  ,

Лекция 3

Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала интегрирующего звена

Тогда ,

Пример. – белый шум.

Тогда

        уже другой случайный процесс. 

Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала усилительного звена

;