Работа силы тяжести, работа упругой силы и работа вращающего момента (пары сил).

 Работа силы тяжести.При вычислении работы силы тяжести мы рассматриваем ограниченную область пространства вблизи поверхности Земли, размеры которой малы по сравнению с размерами Земли. Направим ось z вертикально вверх. Точка M с массой m перемещается по некоторой траектории из положения  в положение  (Рис.5.2). Проекции силы тяжести на оси координат равны:  где g – ускорение свободного падения.

 Вычислим работу силы тяжести:

Сила тяжести – потенциальная сила. Ее работа не зависит от траектории точки, а определяется перепадом высот  между начальным и конечным положениями точки, будучи равной убыли потенциальной энергии  материального тела.

Таким образом,

Работа силы тяжести положительна, если точка теряет высоту (опускается) и отрицательна, если точка набирает высоту.

Работа упругой силы. Понятие упругой силы обычно ассоциируется с реакцией линейно–упругой пружины. Направим ось x вдоль пружины в сторону ее растяжения. Под  понимаем удлинение пружины (  – длина нерастянутой пружины).

Рис. 5.3

Сила реакции пружины пропорциональна ее удлинению  где c – коэффициент жесткости пружины. Разложим вектор скорости точки M на две составляющие, одна из которых  направлена вдоль пружины и определяет скорость ее растяжения, а вторая  перпендикулярна пружине и определяет скорость точки M, полученную при повороте пружины без изменения ее длины (Рис. 5.3).

Вычислим мощность упругой силы:

т.к.                        

Работа упругой силы при перемещении конца пружины из  в  оказывается равной

Как видно, упругая сила потенциальна. Потенциальная энергия тела Ь равна . Заметим, что если поворачивать пружину вокруг шарнира O, не изменяя ее длины, то упругая сила не совершает работу.

Работа вращающего момента Пусть сила  приложена в некоторой точке тела, имеющего ось вращения. Тело вращается с угловой скоростью . Вычислим мощность и работу силы. Точка приложения силы описывает окружность. Разложим силу на составляющие по осям естественного трехгранника (Рис. 5.4):

Работу будет совершать только составляющая , направленная по касательной к траектории точки M:

где  – момент силы  относительно оси вращения тела.

32. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Умножим каждое из дифференциальных уравнений движения точек механической системы скалярно на скорость соответствующей точки и сложим все полученные уравнения:

    или    

Учитывая определения кинетической энергии механической системы и мощности силы, получаем:

 (5.6)

Доказана теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.