Задачи для самостоятельного решения.

1. В треугольнике АВС  см,  см, . Какова длина стороны  АС?    

Ответ: 1.

2. В треугольнике АВС  см,  см, . Какова длина стороны  АВ?   

Ответ: 5.

3. В треугольнике АВС  см,  см, . Какова длина стороны  АС?    

Ответ: 7.

4. В треугольнике АВС  см,  см, . Какова длина стороны  АС?

Ответ: .

5. В треугольнике АВС  см,  см, . Какова длина стороны  ВС?    

Ответ:  см.

6. В треугольнике АВС см, см, . Какова длина стороны  АС?

Ответ: см.

7. Стороны треугольника равны 6 см, 14 см и 10 см. Найти наибольший угол этого треугольника.   Ответ: .

8. Стороны треугольника равны  см,  см и 3 см. Найти наибольший угол этого треугольника.  Ответ: .

9. Стороны треугольника равны 9 см,  см и  см. Найти средний по величине угол этого треугольника.  Ответ: .

10. Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и  см. Найти средний по величине угол этого треугольника.   Ответ: .

11. Стороны треугольника равны  см, 7 см и  см. Найти наименьший угол этого треугольника.    Ответ: .

12. Стороны треугольника равны  см,  см и 12 см. Найти наименьший угол этого треугольника.   Ответ: .

13. Выяснить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если он имеет следующие длины сторон: 1) 2 см; 10 см; 9 см; 2) 13 см; 6 см; 12 см; 3) 29 см; 20 см; 21 см; 4) 5 см; 14 см; 15 см; 5) 24 см; 7 см; 25 см; 6) 4 см; 9 см; 10 см.  

14. Выяснить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если он имеет следующие длины сторон: 1) 5 см; 3 см; 7 см; 2) 2 см; 8 см; 9 см; 3) 8 см; 10 см; 11 см; 4) 35 см; 12 см; 37 см; 5) 7 см; 8 см; 12 см; 6) 15 см; 8 см; 17 см.  

15. Стороны параллелограмма имеют длины 5 см и см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма. Ответ: см и см. 

16. Стороны параллелограмма имеют длины 2 см и см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма. Ответ: см и см.

17. Стороны параллелограмма имеют длины 4 см и см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма. Ответ: см и см.

18. Стороны параллелограмма имеют длины 1 см и см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма. Ответ: см и см.

19. Стороны параллелограмма имеют длины 4 см и 9 см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма. Ответ: см и см.

20. Стороны параллелограмма имеют длины 5 см и 12 см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма. Ответ: см и см.

21. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 7 см и 9 см и острым углом . Ответ:  см.

22. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 5 см и 11 см и тупым углом . Ответ:  см.

23. Дан равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2:3. Ответ:  см.

24. Дан равносторонний треугольник со стороной 9 см. Найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 1:2. Ответ:  см.

25. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с боковой стороной 4 см. На его гипотенузе отмечена точка, делящая гипотенузу в отношении 1:3. Найти расстояние от этой точки до вершины прямого угла треугольника. Ответ:  см.

26. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с боковой стороной 5 см. На его гипотенузе отмечена точка, делящая гипотенузу в отношении 4:1. Найти расстояние от этой точки до вершины прямого угла треугольника. Ответ:  см.

27. Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и см. На его гипотенузе отмечена точка, делящая гипотенузу в отношении 4:5, считая от вершины меньшего угла. Найти расстояние от этой точки до вершины прямого угла.     Ответ:  см.

28. Дан прямоугольный треугольник с катетами 2 см и см. На его гипотенузе отмечена точка, делящая гипотенузу в отношении 3:1, считая от вершины большего угла. Найти расстояние от этой точки до вершины прямого угла.     Ответ:  см.

29. На диагонали квадрата со стороной 5 см отмечена точка, делящая эту диагональ в отношении 2:3. Найти расстояния от этой точки до всех вершин квадрата.

Ответ: см, см, см и см.

30. На диагонали квадрата со стороной 7 см отмечена точка, делящая эту диагональ в отношении  3:4. Найти расстояния от этой точки до всех вершин квадрата.  

Ответ: см, см, 5 см и 5 см.

31. На диагонали прямоугольника со сторонами 3 см и см отмечена точка, делящая эту диагональ в отношении 1:2. Найти расстояния от этой точки до всех вершин прямоугольника. Ответ: 3 см, 6 см, см и см.

32. На диагонали прямоугольника со сторонами 6 см и см отмечена точка, делящая эту диагональ в отношении 4:5. Найти расстояния от этой точки до всех вершин прямоугольника. Ответ: 4 см, 5 см, см и см.

33. На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника отмечены точки К, М и Р соответственно так, что . Найти длину стороны треугольника КМР, если длина стороны треугольника АВС равна 8 см. Ответ: см.

34. На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника отмечены точки К, М и Р соответственно так, что . Найти длину стороны треугольника КМР, если длина стороны треугольника АВС равна 10 см. Ответ: см.

35. Две стороны треугольника равны 4 см и 9 см, а синус угла между ними равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 7 см или  см.

36. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а синус угла между ними равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 8 см или  см.

37. Две стороны треугольника образуют угол в  и относятся как 2:3. Найти эти стороны, если третья сторона имеет длину  см. Ответ: 4 см и 6 см.

38. Две стороны треугольника образуют угол в  и относятся как 3:5. Найти эти стороны, если третья сторона имеет длину  см. Ответ: 9 см и 15 см.

39. Две стороны треугольника образуют угол в  и относятся как 2:5. Найти эти стороны, если третья сторона имеет длину  см. Ответ:  см и  см.

40. Две стороны треугольника образуют угол в  и относятся как 1:2. Найти эти стороны, если третья сторона имеет длину 7 см. Ответ:  см и  см.

41. Сторона треугольника равна см, а две другие стороны образуют угол в   и относятся как . Найти эти стороны. Ответ: 2 см и см.

42. Сторона треугольника равна 3 см, а две другие стороны образуют угол в   и относятся как . Найти эти стороны. Ответ: см и 6 см.

43. Сторона треугольника равна см, а две другие стороны образуют угол в   и относятся как . Найти эти стороны. Ответ: 4 см и см.

44. Сторона треугольника равна см, а две другие стороны образуют угол в   и относятся как . Найти эти стороны. Ответ: 3 см и см.

45. Одна из сторон треугольника равна 21 см, а две другие стороны относятся как 5:8. Найти величину угла между этими двумя сторонами, если периметр треугольника равен 60 см. Ответ: .

46. Одна из сторон треугольника равна 14 см, а две другие стороны относятся как 3:5. Найти величину угла между этими двумя сторонами, если периметр треугольника равен 30 см. Ответ: .

47. Одна из сторон треугольника равна 6 см, другая равна см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 2 см или 4 см.

48. Одна из сторон треугольника равна 7 см, другая равна см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 2 см или 5 см.

49. Одна из сторон треугольника равна  см, другая равна  см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 3 см или 7 см.

50. Одна из сторон треугольника равна  см, другая равна  см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 5 см.

51. Одна из сторон треугольника равна  см, другая равна  см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 5 см.

52. Одна из сторон треугольника равна 2 см, другая равна  см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 9 см.

53. Одна из сторон треугольника равна 7 см, другая равна  см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 10 см.

54. Одна из сторон треугольника равна  см, другая равна  см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника. Ответ: 3 см.

55. Одна из сторон треугольника равна  см, другая равна  см, а противоположный ей угол равен . Найти третью сторону треугольника.     Ответ: 2 см.

56.  Две стороны треугольника образуют угол   и относятся как , а третья сторона имеет длину 10 см. Найти периметр треугольника. Ответ:  см.

57. В треугольнике АВС стороны имеют следующие длины: см, см, см. На стороне ВС отметили точку К такую, что . Найти длину отрезка АК.  

Ответ: см.

58. Стороны параллелограмма равны 1 см и  см, угол между ними равен . Найти меньшую диагональ параллелограмма. Ответ: 1 см.

59. Одна из сторон параллелограмма равна 10 см, меньшая диагональ – 14 см, а острый угол равен . Найти периметр параллелограмма.   Ответ: 52 см.

60. Диагонали параллелограмма равны 32 см и 10 см, а угол между ними равен . Найти большую сторону параллелограмма. Ответ: 19 см.

61. Диагонали параллелограмма равны  см и 4 см, а угол между ними равен . Найти меньшую сторону параллелограмма. Ответ: 1 см.

62. Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см, а одна из диагоналей – 12 см. Найти вторую диагональ параллелограмма.     Ответ: 14 см.

63. Две стороны параллелограмма равны 7 см и 9 см, а одна из диагоналей – 14 см. Найти вторую диагональ параллелограмма.     Ответ: 8 см.

64. Диагонали параллелограмма равны 13 см и 11 см, а одна из сторон – 9 см. Найти вторую сторону параллелограмма. Ответ: 8 см.

65. Диагонали параллелограмма равны 20 см и 30 см, а одна из сторон – 23 см. Найти вторую сторону параллелограмма. Ответ: 11 см.

66. Одна из сторон параллелограмма на 5 больше другой, а диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см. Найти стороны параллелограмма. Ответ: 10 см и 15 см.   

67. Одна из сторон параллелограмма на 10 больше другой, а диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см. Найти стороны параллелограмма. Ответ: 10 см и 20 см.   

68. Найти стороны параллелограмма, если они относятся как 8:19, а диагонали параллелограмма равны 30 см и 50 см. Ответ: 16 см и 38 см.

69. Найти стороны параллелограмма, если они относятся как 6:7, а диагонали параллелограмма равны 21 см и 33 см. Ответ: 18 см и 21 см.

70. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 26 см, а диагонали равны 7 см и 11 см.               Ответ: 6 см и 7 см.

71. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 34 см, а диагонали равны 11 см и 13 см.     Ответ: 8 см и 9 см.

72. Большее основание равнобокой трапеции равно 7 см, боковая сторона – см, а тупой угол имеет величину . Найти диагональ трапеции. Ответ: см.

73. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 4 см, боковая сторона – см, а острый угол имеет величину . Найти диагональ трапеции. Ответ: см.

74. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями  см и  см и острым углом . Ответ:  см.

75. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 7 см и 9 см и острым углом . Ответ:  см.

76. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 5 см и 11 см и тупым углом . Ответ:  см.

77. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 14 см и тупым углом . Ответ:  см.

78. Основания трапеции равны 3 см и 7 см, а боковые стороны – 2 см и 5 см. Найти косинусы всех углов трапеции. Ответ:   , , , .

79. Основания трапеции равны 5 см и 11 см, а боковые стороны – 3 см и 4 см. Найти косинусы всех углов трапеции. Ответ:   , , , .

80. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 3 см и 5 см и боковой стороной см. Ответ: 5 см.

81. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 7 см и 25 см и боковой стороной 15 см. Ответ: 20 см.

 

Литература (для 5 – 6, 7 классов)

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2001.

2. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Потемкин В.Л. Справочник олимпиадных задач по математике – Донецк: Каштан, 2005. – 256 с.

3. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А., Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями – Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2005, 336с.

4. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: задачи логического характера. Книга для учащихся 5–11 кл. –М.: Просвещение, 1996.

5. Гусев В.А, Комбаров А.П. Математическая разминка. Книга для учащихся 5–7 классов. - М.: Просвещение, 2005.

6. Дорофеева В.А. Страницы истории на уроках математики. -М.:Просвещение, 2007

7. Журнал “Математика в школе”. Делимость целых чисел. №4, 2009, стр.36-41, №5, 2009, стр. 21-28.

8. Кононов А.Я. Математическая мозаика. Занимательные задачи для учащихся 5–11 классов.-М.: Педагогическое общество России, 2004.

9. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. Ростов на Дону: ЗАО «Книга», 2005.

10. Перельман Я.И. Занимательная арифметика.-М.: АСТ, 2007.

11. Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике для 5 класса. Спб: СМИО Пресс, 2006.

12. Фарков А.В. Математические олимпиады. Учебно-методический комплект ко всем программам по математике за 5–6-е классы. М, Издательство “ЭКЗАМЕН”, 2006.

13. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5–6 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006.

14. Шейнина О.С, Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка, 5-6 классы.-М.: издательство НЦ ЭНАС, 2005.

15. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. Аксенова М, метод. и отв. ред. Володин В. М, Аванта+. 2004.

 

 

Литература (для 8 – 9, 10 – 11 классов)

1. Агаханов Н.Х, Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. Изд. 2-е, испр. И доп. – М.: Физмат книга, 2006.

2. Агаханов Н.Х, Богданов И.И, Кожевников П.А, Подлипский О.К, Терешин Д.А. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1. – М.: Просвещение, 2008.

3. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А., Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями – Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2005, 336с.

4. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2005.

5. Денищева Л.О, Карюхина Н.В, Михеева Т.Ф. Учимся решать уравнения и неравенства. – М.: «Интеллект-Центр», 2000.

6. Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. – Волгоград «Учитель», 2007.

7. Кононов А.Я. Математическая мозаика. Занимательные задачи для учащихся 5–11 классов. М.: Педагогическое общество России, 2004.

8. Материалы городских математических олимпиад, 1998г – 2010г.

9. Маркова И.С. Новые олимпиады по математике. – Ростов на Дону «Феникс», 2005.

10. Петраков И.С. «Математические кружки в 8 -10 классах. Книга для учителя», М.: Просвещение, 1987.

11. Семенова А.Л, Ященко И.В. Математика. Экзамен. М., 2010.

12. Триг Ч. Задачи с изюминкой. – М.: «Мир», 1975.

13. Федоров Р.М, Канель-Белов А.Я, Ковальджи А.К, Ященко И.В. Московские математические олимпиады, 1993 – 2005г. / Под ред. Тихомиров В.М. – М.: МЦНМО, 2006.

14. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. – М.: «Наука», библиотечка «Квант», выпуск 17, 1982.

15. Шеховцов В.А. Решение олимпиадных задач повышенной сложности. Волгоград «Учитель», 2009.

16. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. 10 класс. М., Просвещение. 1989.

17. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. 11  класс. М., Просвещение. 1991.

 

 

Список интернет-ресурсов для подготовки обучающихся к Республиканской олимпиаде.

1. http://zadachi.mccme.ru Задачи: информационно-поисковая система задач по математике. Сайт включает такие рубрики как «Условие», «Решение», «Подсказка» (указания к решению), «Информация» (методы и приемы решения, используемые в решении; факты, используемые в решении; объекты и понятия, используемые в решении; источники и прецеденты использования), каждую из которых ученик может открыть при решении любой содержащейся в сайте задачи.

2. http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/tit.htm Конкурсные задачи по математике: справочник и методы решения. Методы решения уравнений, систем, неравенств. Текстовые задачи и задачи с параметрами. Задачи по планиметрии и стереометрии. Примеры и задачи для самостоятельного решения. Краткий справочник по элементарной математике и типовая программа для абитуриентов.

3. http://zaba.ru/ Олимпиадные задачи по математике: база данных. Около 8000 задач школьных, региональных, всероссийских и международных конкурсов, олимпиад и турниров по математике. Многие задачи с ответами, указаниями, решениями. До 2001 года (включительно). Возможности поиска.

4. http://www.mccme.ru/olympiads/mmo/ Московские математические олимпиады. Задачи окружных туров олимпиады для школьников 5-11 классов, начиная с 2000 года. Задачи городских туров олимпиады для школьников 8-11 классов начиная с 1999 года. Все задачи с подробными решениями и ответами. Новости олимпиады. Победители и призеры олимпиад. Статистика.

5. http://aimakarov.chat.ru/school/school.htm Школьные и районные математические олимпиады в Новосибирске. Задачи для 3-11 классов с 1998 года по настоящее время. Без решений. Раздел занимательных и веселых задач.

6. http://math.ournet.md/indexr.html Виртуальная школа юного математика
"Виртуальная школа юного математика" содержит задачи, комментарии, подробные контрпримеры, полные доказательства некоторых математических проблем теоретического характера, темы и задачи, малоизучаемые (или вообще не изучаемые) в школьном курсе математики, практикум абитуриента, странички из истории математики, математические словари, условия и решения задач выпускных экзаменов. Раздел "Практикум абитуриента" содержит необходимый минимум задач, которые нужно уметь решать поступающему в вуз. Задачи по каждой теме расположены в порядке возрастания их сложности и по возможности классифицированы и снабжены решениями.

7. http://mschool.kubsu.ru/ Библиотека электронных учебных пособий по математике. Задачи математических олимпиад и турниров. Интерактивные обучающие ресурсы по многим разделам элементарной и высшей математики. Математические тесты, пособия и справочники.

8. http://www.develop-kinder.com/client/forumsuhoi/zadachi-all-10.html Задания интернет-олимпиады «Сократ»

9.  http://tasks.ceemat.ru Задачник для подготовки к олимпиадам по математике

 

   Оргкомитет олимпиады

по математике

Тел. для консультаций

(071) 4278562, (071) 4104019.

viddil-matematiki@yandex.ru