НЕРАВЕНСТВА, ОЦЕНКИ, ПРИМЕРЫ

В этом разделе мы будем рассматривать задачи, в которых необходимо оценить какую-нибудь величину (определить ее наибольшее или наименьшее значение), построить пример, реализующий необходимую ситуацию и т.п.

Пример 1. У папы Карло есть 130 дощечек. Из 5 дощечек он может сделать игрушечную мельницу, из 7 дощечек – пароход, из 14 дощечек – самолёт. Самолёт стоит 19 золотых, пароход – 8 золотых, мельница – 6 золотых. Какое наибольшее количество золотых может заработать папа Карло?

Решение. Если среди сделанных игрушек есть два парохода, они принесут доход в 16 золотых при затраченных на них 14 дощечках. Ясно, что вместо них выгоднее сделать из этих же 14 дощечек самолет и получить 19 золотых. Поэтому, если среди изготовленных игрушек более одного парохода, то это не самая большая прибыль. Если среди сделанных игрушек есть три мельницы, они принесут доход в 18 золотых при затраченных на них 15 дощечках. Ясно, что вместо них выгоднее сделать из 14 дощечек самолет и получить 19 золотых, сэкономив при этом одну дощечку. Поэтому, если среди изготовленных игрушек более двух мельниц, то это тоже не самая большая прибыль. Значит, на пароходы и мельницы папе Карло следует потратить не более 7 + 2·5 = =17 дощечек. Если сделать 9 самолетов, израсходуются 126 дощечек и больше ничего сделать нельзя. Прибыль в этом случае равна 171 золотому. Если же сделать 8 самолетов, израсходуются 112 дощечек и оставшихся 18 хватит, чтобы изготовить две мельницы и пароход. В этом случае папа Карло заработает 8·19 + 2·6 + 8 = 172 золотых.

Ответ: 172 золотых.

Пример 2. В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе? А сколько мест?

Решение. 13 пассажиров могут занять не менее 7 сидений (на шести сидениях, даже двухместных, они не поместятся). Если при этом в автобусе еще 9 сидений были полностью свободными, то всего их было не менее 16. С другой стороны сидений в автобусе не могло быть меньше 16. Действительно, 10 человек занимают не более 10 сидений, да еще 6 остаются свободными. Следовательно, всего сидений было 16. Количество мест однозначно определить невозможно. Ясно, что их было не меньше 22 (если 13 пассажиров заняли 7 сидений, то по крайней мере шесть из них – двухместные, тогда наименьшее количество мест мы получим, если остальные 10 сидений – одноместные). Наибольшее количество мест равно 31. Поскольку в автобусе есть хотя бы одно одноместное сидение, наибольшее количество мест мы получим, если двухместных сидений будет 15.

Ответ: сидений 16; мест от 22 до 31.

Пример 3. Даны числа , ,   и . Можно ли поставить вместо звездочек различные цифры так, чтобы сумма двух первых чисел была равна сумме двух последних?

Решение. Предположим, что первые два числа равны  и , где а, b  и  с – различные цифры. Тогда их сумма равна . Эта сумма принимает наименьшее значение при   и равна 5899. Предположим теперь, что другие два числа равны  и , где х, у  и z – различные цифры. Тогда их сумма равна . Эта сумма принимает наибольшее значение при   и равна 5898. Понятно, что сумма двух первых чисел всегда больше, чем сумма двух последних.

Ответ: нет. 

Пример 4. Можно ли разбить квадрат на тысячеугольник и 199 пятиугольников?

Решение. Если бы такое разбиение было возможным, каждая вершина тысячеугольника должна совпадать либо с вершиной квадрата, либо с вершиной одного из пятиугольников. Но таких вершин всего , то есть меньше 1000. Значит, такое разбиение невозможно.

Ответ: нет. 

Пример 5. Мед заполняет несколько 50-литровых бидонов. Если его разлить в 40-литровые бидоны, то понадобится на 5 бидонов больше, причем один из них останется неполным. Если же этот мед разлить в 70-литровые бидоны, то их понадобится на 4 меньше, и тоже один бидон останется неполным. Сколько было меда?    

Решение. Будем сначала переливать мед из 50-литровых бидонов в 40-литровые. Значит, от каждого исходного бидона останется по 10 литров меда. Они пойдут на заполнение более чем четырех 40-литровых бидонов. Следовательно, 50-литровых бидонов было более 16 (каждый 40-литровый бидон наполняется остатками от 4-х 50-литровых). Если теперь разлить мед в 70-литровые бидоны, то их понадобится на 4 меньше, но один бидон останется неполным. Это значит, что если мы из пяти бидонов станем дополнять каждый из остальных до 70 литров, то придется  разлить менее 250 литров. Этого хватит, чтобы дополнить не более чем 12 бидонов ( ). Вместе с пятью бидонами, из которых доливали, получаем, что 50-литровых бидонов было не более 17. Теперь понятно, что меда было 17 50-литровых бидонов, то есть 850 литров.

Ответ: 850 литров.

Пример 6. Можно ли расставить на клетчатой доске   полный комплект для игры в морской бой (1 корабль , 2 корабля , 3 корабля , 4 корабля ) так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали хотя бы одна клетка была занята?

Решение. Предположим, что  это можно сделать. Суммарное количество вертикалей и горизонталей на доске   равно 32. Подсчитаем суммарное количество вертикалей и горизонталей доски, которые может занимать весь комплект кораблей. Корабль   занимает одну горизонталь и четыре вертикали, либо одну вертикаль и 4 горизонтали, то есть в сумме – 5 рядов. Корабль   занимает 4 ряда, корабль   занимает 3 ряда, а корабль  занимает 2 ряда. Весь комплект кораблей тогда занимает не более  рядов (не более, поскольку некоторые ряды могли учитываться дважды). Но всего рядов 32, значит, при любой расстановке по крайней мере два ряда будут не занятыми.

Ответ: нет.

Пример 7. Для того чтобы купить в харчевне полпорции жареных пескарей, Коту Базилио не хватает 3 сольдо, а лисе Алисе – 10 сольдо. Они сложили свои деньги, закопали их на Поле Чудес, и на следующий день их совместный капитал утроился. Смогут ли теперь кот Базилио и лиса Алиса купить полную порцию жареных пескарей на двоих?  

Решение. Пусть полпорции жареных пескарей стоят х сольдо. Тогда у Базилио было   сольдо, а у Алисы   сольдо. Отсюда следует, что  (если , это означает, что у Алисы совсем не было денег). После Поля чудес у Базилио и Алисы стало   сольдо. Этих денег хватит на полную порцию, если выполняется неравенство , то есть . Последнее неравенство, конечно, верно, поскольку .

Ответ: смогут.

Пример 8. Мама испекла пирожки – три с рисом, три с капустой и один с вишней – и выложила их на блюдо по кругу так, как показано на рисунке. Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. На вид все пирожки одинаковые. Маша знает, как они лежали, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными. Как Маше наверняка добиться этого, надкусив как можно меньше невкусных пирожков?

Решение. Понятно, что за одно надкусывание Маша справиться с задачей не сможет. Если Маша, например, попробовала пирожок с капустой, то она не в состоянии определить, какой именно из трёх ей достался, а поэтому не сможет с уверенностью найти пирожок с вишней. Покажем, как Маша справится с задачей за два надкусывания. Пусть Маша надкусила пирожок, а он оказался не с вишней, а с капустой. Тогда она может попробовать пирожок, лежащий через один от него по часовой стрелке. Если это пирожок с вишней, то Маша добилась своего, если с рисом, то искомый пирожок между надкусанными, а если снова с капустой, то надо брать следующий по часовой стрелке, и это точно будет пирожок с вишней. Если первый пирожок будет с рисом, Маша может действовать аналогично, но двигаться против часовой стрелки.

Пример 9. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или три чашки чая. Наташе коробки хватило только на 41 чашку чая, а Инне - только на 58. Сколько пакетиков было в коробке?

Решение 1:

Заметим, что в коробке не могло быть меньше 20 пакетиков: если их хотя бы 19, то Инна не сможет выпить больше 19*3=57 чашек, а она выпила 58. С другой стороны, в коробке не могло быть больше 20 пакетиков: если их хотя бы 21, то Наташа не могла выпить меньше 21*2=42 чашек, а она выпила 41. Тем самым, в коробке было 20 пакетиков: Инна заварила 18 пакетиков по три раза и 2 пакетика по два раза, а Наташа заварила 1 пакетик три раза и 19 пакетиков по два раза.
Замечание
Обязательно надо предъявить способ выпить 41 и 58 чашек чая, иначе решение не будет полным.

Решение 2:

Заметим, что Инна выпила на 17 чашек чая больше, чем Наташа. Это значит, что по крайней мере 17 пакетиков Инна использовала по три раза. Из этих пакетиков она заварила 17*3=51 чашку чая. Кроме этих чашек она выпила еще 58-51=7 чашек чая. Семь чашек чая в условиях задачи можно заварить единственным способом -- 2 пакетика использовать по два раза и 1 пакетик заварить три раза. Таким образом, в коробке было ровно 20 пакетиков чая: Инна заварила 18 пакетиков по три раза и 2 пакетика по два раза, а Наташа заварила 1 пакетик три раза и 19 пакетиков по два раза.

 Ответ: В коробке было 20 пакетиков чая.