Примеры решения задач.

Пример 1. Две стороны треугольника имеют длины 7 см и 12 см, а угол между ними равен . Найти третью сторону треугольника.

Решение. Запишем теорему косинусов для данного треугольника (рис. 3): .

                     

Рис. 3

Тогда  или, учитывая, что , находим:  ; ;  см.

Ответ:  см.

 

     Пример 2. Найти сторону АВ треугольника АВС, если АС = 6 см, ВС = 4 см, Ð ВАС=30°.

Решение. Пусть АВ = х. Запишем теорему косинусов для треугольника АВС: .

Подставив данные величины, получаем (рис. 4):            

;

.

Отсюда .

 

                Рис. 4

Решая квадратное уравнение, находим: .

Оба корня удовлетворяют условию, поскольку существуют два различных треугольника, удовлетворяющих условию -   и (рис. 5).

                Рис. 5                                                       

Ответ: см.

 

Пример 3. Стороны треугольника равны  см,  см и 11 см. Найти наибольший угол этого треугольника.   

Решение. Наибольший угол треугольника лежит против его большей стороны. Запишем теорему косинусов для угла , лежащего против стороны длиной  см: 

; .

Значит, .

Ответ: .

Пример 4. Выяснить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если длины его сторон равны 23 см; 17 см; 19 см.   

Решение. Наибольшая сторона треугольника имеет длину 23 см. Воспользуемся теоремой 3.2. Для этого сравним  величины  и . Поскольку вторая из них больше, данный треугольник – остроугольный.

Ответ: остроугольный.

 

Пример 5. Две стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, а одна из диагоналей –  см. Найти вторую диагональ параллелограмма.

Решение. Обозначим неизвестную диагональ через х. Тогда по теореме 3.3 запишем: . Отсюда . Значит, х = 6 см.

Ответ: 6 см.

 

Пример 6. Одна из сторон треугольника равна 3 см, а две другие стороны относятся как . Найти величину угла между этими двумя сторонами, если периметр треугольника равен  см.

Решение. Поскольку отношение неизвестных сторон равно , обозначим их через  и x. Тогда, записывая периметр треугольника, получим уравнение:

. Отсюда , то есть . Значит, неизвестные стороны треугольника равны 3 и . Если угол между ними обозначить через , то по следствию 1 из теоремы косинусов получим: , то есть . Это означает, что .

Ответ: . 

Пример 7. Две стороны треугольника равны 5 см и 4 см, а синус угла между ними равен . Найти третью сторону треугольника.    

Решение. Поскольку синус угла   между данными сторонами треугольника равен , косинус этого угла найдем из соотношения : . Следовательно,  равен  или . Применим теперь теорему косинусов для нахождения неизвестной стороны x:

или . То есть   или .

Ответ:  см или  см.

 

Пример 8. Основания трапеции равны 4 см и 11 см, а боковые стороны – 5 см и 6 см. Найти косинусы всех углов трапеции.

 

Решение. Пусть в трапеции ABCD см, см, см, см, , .

 

Рис. 6

 

Проведем через вершину С прямую СК, параллельную АВ. Тогда четырехугольник АВСК – параллелограмм, у которого см, см. В треугольнике KCD см, . Таким образом, в треугольнике KCD известны длины всех сторон. По следствию 1 из теоремы косинусов получим: , то есть . Аналогично, , то есть . Поскольку , а ,   и .

Ответ: , , , .

 

Пример 9. В треугольнике  АВС см, см. Расстояние от середины стороны ВС  до стороны АС равно 12 см. Найти длину стороны АС.

 

Решение. Пусть М – середина стороны ВС, а N – основание перпендикуляра, опущенного из точки  М на сторону АВ.

Рис. 7

Тогда, по теореме Пифагора, см. Значит, . Можно применить теорему косинусов к треугольнику АВС: ; ; .

Ответ: 25 см.

Пример 10. Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 11 см и 21 см и боковой стороной 13 см.

Решение. Проведем в трапеции ABCD высоты из вершин В  и С (рис. 8).

Рис. 8

Отрезок АК  равен 5 см. Значит, . Применим теорему косинусов к треугольнику ABD:

; . Отсюда  см.

Ответ: 20 см.

Пример 11. В треугольнике АВС стороны имеют следующие длины: см, см, см. На стороне ВС отметили точку К такую, что . Найти длину отрезка АК.

Рис. 9

Решение. 1 способ. Поскольку , а см, получим, что см, см. Обозначим угол ВКА через , тогда . Если см, то можем записать теорему косинусов для треугольников АВК и АКС:

Умножая первое уравнение на 4, а второе на 3, получим:

Сложим эти уравнения: , тогда , а .   

2 способ. Пользуясь следствием 1, найдем косинус угла  АВС: ; . Теперь, применяя теорему косинусов к треугольнику АВК, найдем АК: ; ; .                  Ответ: см.

Пример 12. Стороны параллелограмма имеют длины 6 см и 11 см, а один из его углов равен . Найти диагонали параллелограмма.

Решение. Если тупой угол параллелограмма равен , то острый его угол равен .

Применим теорему косинусов к треугольнику BCD: 

 

;

;

.

 

 

      Рис. 10

Применим теорему косинусов к треугольнику А BC: 

;

;

.

 

 

      Рис. 11

Ответ: см и см.

 

Пример 13. Найти диагонали параллелограмма, если они относятся как 4:7, а стороны параллелограмма равны 7 см и 9 см.

Решение. Введем коэффициент пропорциональности , тогда диагонали параллелограмма можно записать как 4х и 7х. Используя формулу   следствия 3, получаем: . Тогда . Отсюда , а диагонали параллелограмма равны 8см и 14 см.

Ответ: 8см и 14 см.

Пример 14. На диагонали прямоугольника со сторонами 10 см и 24 см отмечена точка, делящая эту диагональ в отношении 6:7. Найти расстояния от этой точки до всех вершин прямоугольника.

Решение. Если стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см, то его диагональ равна 26 см (по теореме Пифагора). Пусть точка М делит диагональ АС в отношении 6:7 (см. рис. 12), тогда см и см. Обозначим углы ВСА  и CAD  через . Тогда . Применим теорему косинусов к треугольникам ВМС  и А MD: ; . Отсюда см, а см.

                           Рис. 12

Ответ: 12 см, 14 см, см и см.