Упражнения для самостоятельного решения

1. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

2. К числу 97  припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

3. К числу 13 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36.

4. В числе переставили цифры и получили число, которое в три раза меньше исходного. Докажите, что исходное число делится на 27.

5. Сумма цифр натурального числа А равна сумме цифр числа 3А.                                         

а) Доказать, что А делится на 3.

б) Доказать, что  А делится на 9.

в) Верно ли, что А  обязательно делится на 27?

6. Поставить вместо звездочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72 .

7. В числе 4758967* дописать последнюю цифру так, чтобы оно делилось на 11.

8. Доказать, что если a , b , с, d – различные цифры, то число   не делится на число .

9. Сумма двух цифр а и b делится на 7. Доказать, что число   делится на 7.

10. Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Доказать, что такое число  делится на 7 тогда и только тогда, когда равны его цифры десятков и единиц.

11. Доказать, что число   делится на 21.

12. Трехзначное число   делится на 37. Доказать, что сумма чисел   и   также делится на 37.

Решения упражнений.

1. Для делимости на 15 достаточно, чтобы число делилось на 3 и на 5. Число делится на 5, значит оно оканчивается на 0 или на 5. Если справа приписать 0, то слева можно приписать 3, 6 или 9 (тогда сумма цифр полученного числа будет делиться на 3). Если справа приписать 5, то слева можно приписать 1, 4 или 7.

Ответ: 1155; 3150; 4155; 6150; 7155; 9150.

2. Для делимости на 45 достаточно, чтобы число делилось на 9 и на 5. Аналогично предыдущему заданию получаем ответ.

Ответ: 2970; 6975.

3. Для делимости на 36 достаточно, чтобы число делилось на 4 и на 9. Число делится на 4, значит двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Это двузначное число начинается с цифры 3, следовательно, последняя цифра – это 2 или 6. В каждом из этих случаев определим первую цифру четырехзначного числа, чтобы сумма всех цифр делилась на 9. Тогда получим ответ.

Ответ: 3132; 8136.

4. Пусть исходное число – это х, а после перестановки цифр – у. Тогда . Отсюда число х кратно 3. Значит и  у тоже кратно 3 (у них сумма цифр одна и та же). Но тогда 3у кратно 9, то есть х кратно 9. Отсюда у  тоже кратно 9. Но тогда 3у кратно 27, то есть х  кратно 27, что и требовалось доказать.

5. Задача сходна с предыдущей. а) и б): Пусть сумма цифр числа  А равна S. Поскольку 3А делится на 3, то S делится на 3, тогда и А делится на 3. Следовательно, 3А делится на 9 и S делится на 9, то есть А  делится на 9.

в) Не обязательно. Например, при А = 9, «сумма» его цифр равна 9 и сумма цифр числа 3А = 27 тоже равна 9. Но 9 не делится на 27.

6. Решение аналогично примеру 3.

Ответ: 322357176.

7.Указание: применить признак делимости на 11, находя суммы цифр на четных и нечетных местах.

Ответ: 47589671.

8. Число   не делится на 11, поскольку сумма цифр, стоящих на нечетных местах равна 4с, а на нечетных – 4d, и разность   на 11 не делится. Число   делится на 11. Значит,   не делится на . 

9. . Это выражение, очевидно, делится на 7.

10. . Равенство цифр b и с является необходимым и достаточным, чтобы число делилось на 7.

11. Утверждение следует из того, что .

12. Рассмотрим сумму всех трех чисел, указанных в условии:

.

Эта сумма делится на 37 (поскольку 111 делится на 37). По условию, число   делится на 37. Значит, и сумма двух последних чисел   также делится на 37.