Решения упражнений для тренировки.

1. Если исходное число равно , то, по условию, . Отсюда . Произведение двух последовательных чисел в левой части четно, следовательно, а – тоже четное. При этом . Значит, . То есть, , тогда . 

Ответ: 24.

2. По условию, число имеет вид   и . Отсюда , или после преобразований: . Отсюда .

Ответ: 975.

3. По условию, число имеет вид   и . Отсюда , или после преобразований: . Возможны четыре варианта: ; ; ; .

Ответ: 650; 751; 852; 953.

4. Запишем число в виде . По условию,   или . Отсюда , .

Ответ: 1881.

5. По условию, две средние цифры образуют число, кратное 15. Тогда это 15, 30, 45, 60, 75, или 90. Поскольку цифра единиц не более 9, единственно возможный вариант – это 15. Тогда число равно 3155.

Ответ: 3155.

6. Понятно, что первая цифра числа – это  1 (если она больше 1, то при умножении на 9 число не останется пятизначным). После умножения на 9 получится пятизначное число, начинающееся с 9. Значит, последняя цифра исходного числа – это 9. Тогда исходное число имеет вид , а полученное – . Из условия получаем уравнение . Используем позиционную запись входящих в него чисел: . После преобразований получим: . Правая часть этого равенства не превосходит 728 (с – цифра, значит, ). Тогда , иначе левая часть не меньше 907. Получаем, что . Левая часть полученного уравнения делится на 8, значит, , поскольку 91 взаимно просто с 8. Следовательно, . Отсюда получаем ответ: 10989.

Ответ: 10989.

7. Обозначим пятизначное число, образованное первыми пятью цифрами исходного числа через а. Тогда исходное шестизначное число можно записать в виде , а полученное – в виде . Из условия следует, что . Решая полученное уравнение, получаем, что , а исходное число тогда равно 857142.

Ответ: 857142.

8. Обозначим пятизначное число, образованное последними пятью цифрами исходного числа  через а. Тогда исходное шестизначное число можно записать в виде , а полученное – в виде . Из условия следует, что . Решая полученное уравнение, получаем, что , а исходное число тогда равно 714285.

Ответ: 714285.

9. Для числа   получаем: . Отсюда . Произведение в правой части должно делиться на 10, значит, какой-нибудь сомножитель делится на 5. Учитывая, что с – цифра, не равная 0, получаем следующие варианты:  ; ; . Тогда искомое число равно 216, 125 или 729.

Ответ: 125, 216, 729.

Контрольное задание.

1. Найти двузначное число, которое равно утроенной сумме своих цифр.

2. Найти двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

3. Найти все двузначные числа, которые от перестановки своих цифр увеличиваются на 36.

4. Найти трехзначное число, оканчивающееся нулем, если после отбрасывания этого нуля оно уменьшится на 351.

5. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найти это число.

6. Найти двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке.

7. Найти двузначное число, сумма цифр которого равна 13, а разность между искомым числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, оканчивается цифрой 7.

8. Сумма цифр двузначного числа, сложенная с разностью цифры десятков и цифры единиц, равна 10. Если между цифрами числа вставить 9, то число увеличится в 11 раз. Найти первоначальное число.

9. Сумма цифр трёхзначного числа равна 11, а сумма квадратов  цифр этого числа равна 45. Если от искомого числа отнять 198, то получается число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти это число.

10. Найти все трехзначные числа, которые в 25 раз больше суммы своих цифр.

11. Если в трехзначном числе с различными ненулевыми цифрами сложить все возможные двузначные числа, образованные из цифр этого числа, то получится число, которое в два раза больше исходного. Чему может равняться это число?

12. Первая слева цифра шестизначного числа 1. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится число в 3 раза больше первоначального. Найти первоначальное число.

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

Решение любой текстовой задачи (не только на движение) складывается из трёх основных моментов:

   а) удачного выбора неизвестных;

   б) составления уравнений и формализации того, что требуется найти;

   в) решения полученной системы уравнений и неравенств.

Почти во всех задачах на движение выбор в качестве неизвестных величин расстояний и скоростей приводит к успешному решению задачи. Если вы составили уравнения, а полученная система не решается, надо попробовать выбрать другие неизвестные. Не бойтесь того, что у вас слишком много неизвестных. Главное – это правильное составление системы. Кроме того, обращайте особое внимание на единицы измерения – они в течение всего решения должны быть одинаковыми.

Помните о том, что для превращения высказываний в тексте задачи в уравнения вашей системы необходим лишь здравый смысл. Важно обязательно сформулировать при помощи ваших переменных, что вы обязаны найти, поскольку переменных может быть больше, чем уравнений, так что все их найти будет просто невозможно.

Решение систем, которые в таких случаях возникают, рассматривается в курсе школьной программы. Важно всё время помнить о том, что ищется. Кроме того, в текстовых задачах все величины, как правило, положительны (ибо в природе скорости и расстояния положительны). Поэтому можно умножать, делить и возводить в квадрат получающиеся уравнения и неравенства, не делая необходимых оговорок. 

 

Пример 1. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстаёт от парохода на 8 км. Если они плывут против течения, то пароход идёт от В до А в два раза быстрее (по времени, а не по скорости), чем катер. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.

 

Решение.  Пусть х км/ч – скорость парохода в стоячей воде, у км/ч – скорость катера в стоячей воде,  км/ч – скорость течения и  км – расстояние от  до .

Скорость парохода по течению составляет  км/ч, катера -  км/ч. Следовательно, путь в  км пароход пройдёт за  часов. По условию задачи время парохода будет в полтора раза меньше, чем время катера. Отсюда получаем первое уравнение: . Полезно по ходу решения задачи обводить уже готовые уравнения в рамочку, чтобы легко было их потом собирать в систему.

Далее, тот факт, что катер каждый час отстаёт от парохода на 8 км означает просто, что за один час пароход проходит на 8 км больше, чем катер. Пароход проходит за один час  км, а катер -  км. Отсюда получаем второе уравнение: .

При ходе против течения скорость парохода есть  км/ч, а катера -  км/ч. Следовательно, пароход пройдёт от  до  за  ч, а катер – за  ч. По условию задачи время парохода в два раза меньше времени катера, т.е. .

Мы имеем систему:

Из которой надо найти  и .

Сократив первое и третье уравнения на  и упростив второе, получим систему :

             

Последняя эквивалентность имеет место ввиду положительности всех переменных. Из получившейся линейной системы легко находим, что ,

Ответ: Скорость парохода – 20 км/ч; скорость катера –  12 км/ч.

 

Пример 2. От пристани одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на   км, затем повернул обратно и вернулся к пристани через   часов. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии   км от пристани.

 

Решение. Пусть  - скорость катера в стоячей воде, а  - скорость течения. Тогда, исходя из условия задачи, получаем следующую систему уравнений:

.

В последнем уравнении разделим  знаменатель каждой дроби на   и сделаем замену . Тогда уравнение примет вид: . Преобразовав его, получим: . Отсюда, так как   в ноль не обращается, . Поэтому   и, подставляя это соотношение в первое уравнение системы, находим, что  км/ч и, соответственно,  км/ч.

Ответ: Скорость течения – 2 км/ч ; скорость лодки –    14 км/ч.

 

Пример 3. Из   в   выехали одновременно “Жигули”, “Москвич” и “Запорожец”. “Жигули”, доехав до , повернули назад и встретили “Москвич” в   км, а “Запорожец” – в   км от . “Москвич”, доехав до  также повернул назад и встретил “Запорожец” в   км от . Найдите расстояние от   до . ( Скорости автомобилей постоянны. )

   

Решение. Пусть  - искомое расстояние ( в километрах ),  - скорости ( в км/ч ) “Жигулей”, “Москвича” и “Запорожца” соответственно. 

Тогда из условий задачи получаем равенства

,       и ,

перемножив которые, получим уравнение:

.

После преобразований придём к уравнению , которое имеет ровно один положительный корень   км.

 

Ответ: 60 км.

 

Пример 4. Пассажир, едущий из  в , одну половину затраченного на путь времени ехал на автобусе, а вторую – на автомашине. Если бы он ехал от  до  только на автобусе, то это заняло бы в полтора раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит путь от  до  машина, чем автобус?

 

Решение. Пусть  км/ч – скорость автобуса,  км/ч – скорость автомобиля,  км – расстояние от  до .

Пусть  часов – затраченное на путь время. Согласно условию  ч пассажир ехал в автобусе и столько же – на автомобиле. Значит, он проехал всего  км, причём это расстояние равно . Следовательно,  , откуда .

В автобусе пассажир проехал весь путь за  часов. Учитывая условие задачи, составляем уравнение

 ,

Из которого надо найти величину  .

Сокращая на  и упрощая, получаем  или .

 

Ответ: в два раза быстрее. 

 

                                  Упражнения для самостоятельной работы

1. Турист проехал расстояние между двумя городами за три дня. В первый день он проехал   всего пути и ещё 60 км, во второй -   всего пути и ещё 20 км и в третий день -   всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами.

Ответ: 400 км.

 

2. Из города   в город   выезжает велосипедист, а через 3 часа после его выезда из города   навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист  и мотоциклист встречаются посередине между   и . Сколько часов в пути до встречи был велосипедист?

Ответ: 4,5 часа.

 

3. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого свою скорость на 10 км/ч, он наверстал опоздание за 80 км. Определить скорость мотоциклиста до задержки.

Ответ: 40 км/ч.

 

4. Первую четверть пути поезд двигался со скоростью 80 км/ч, а оставшуюся часть – со скоростью 60 км/ч. С какой средней скоростью двигался поезд?

Ответ: 64 км/ч.

 

5. Самолёт летел сначала со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, скорость его стала равной 330 км/ч. Средняя скорость самолёта на всём пути 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолёт?

Ответ: 1375 км.

 

6. Пассажир едет в трамвае и замечает, что параллельно трамвайной линии в противоположном направлении идёт его приятель. Через минуту человек вышел из вагона и, чтобы догнать приятеля, пошёл вдвое быстрее его, но в 4 раза медленнее трамвая. Через сколько минут пассажир догонит приятеля?

Ответ: 9 минут.

 

7. Пассажир проехал на  поезде 120 км, пробыв на станции 40 минут, вернулся с обратным поездом, проходившим в час на 6 км больше, чем первый. Общая продолжительность поездки составила 8 часов. Сколько километров в минуту проезжает каждый поезд?

Ответ: 0,5 км/мин; 0,6 км/мин.

 

8. Путешественник предполагал пройти 30 км с некоторой скоростью. Но с этой скоростью он шёл всего 1 час, а затем стал проходить в час на 1 км меньше. В результате он прибыл в конечный пункт на 1 час 15 минут позднее, чем предполагал. С какой скоростью путешественник предполагал пройти путь?

Ответ: 5 км/ч.

 

9. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 секунд и 15 секунд идёт мимо телеграфного столба. Вычислить длину поезда и его скорость.

Ответ: 225 м; 54 км/ч.

 

10. Спускаясь по эскалатору, Миша наступил на 50 ступенек, а шагавший втрое быстрее Боря – на 75. Сколько ступенек на эскалаторе?

Ответ: 100 ступенек.

 

11. Пройдя   длины моста, ослик Иа-Иа заметил автомобиль, приближающийся со скоростью 60 км/ч. Если ослик побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста; если вперёд, автомобиль нагонит его в конце моста. С какой скоростью бегает Иа-Иа?

Ответ: 15 км/ч.

 

12. От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли два паука. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первый паук полз всё время с постоянной скоростью, а второй хотя и поднимался вдвое медленнее первого,  но зато спускался вдвое быстрее первого. Какой паук раньше приполз обратно?

Ответ: первый паук.

 

13. Путь от дома до школы Буратино проделал пешком. Обратно он двигался той же дорогой, но первую половину пути он проехал на собаке, а вторую половину пути – на черепахе. Известно, что скорость собаки в четыре раза больше, а скорость черепахи – в два раза меньше, чем скорость, с которой Буратино шёл в школу. На какой путь – из дома до школы или из школы до дома – затратил Буратино больше времени?

Ответ: на путь из школы домой.

 

14. Из города   в город   выезжает первая автомашина, которая проезжает расстояние от   до   за 6 часов. Затем навстречу ей из города   выезжает вторая автомашина, преодолевающая то же расстояние за 8 часов. К моменту встречи вторая автомашина преодолела расстояние в   раза меньше, чем первая. На сколько часов позже выехала вторая автомашина?

Ответ: на 1 час. 

 

15. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу; один из пункта   в пункт , другой – из пункта   в . После встречи один из них находился в пути ещё 2 часа, а другой   часа. Определите скорости автомобилей, если расстояние между   и   равно 210 км.

Ответ: 60 км/ч; 80 км/ч.

 

16. Расстояние между городами   и   равно 80 км. Из   в   выехала машина, а через 20 минут – мотоциклист, скорость которого равна 90 км/ч. Мотоциклист догнал машину в пункте   и повернул обратно. Когда мотоциклист проехал половину пути от   к , машина прибыла в . Найти расстояние от   до .

Ответ: 60 км.

 

17. Три велосипедиста из одного посёлка в одном направлении выезжают с интервалом в 1 час. Первый двигался со скоростью 12 км/ч, второй – 10 км/ч. Третий велосипедист, имея большую скорость, догнал второго, а ещё через 2 часа догнал первого. Найти скорость третьего велосипедиста.

Ответ: 20 км/ч.

 

18. Из   в   со скоростью 80 км/ч выезжает автомобиль. Одновременно из   в   со скоростью 60 км/ч выезжает второй автомобиль. Через 1 час вслед за первым автомобилем выезжает третий автомобиль, который сначала догоняет первый автомобиль, а ещё через час после этого встречается со вторым. Найти скорость третьего автомобиля, зная, что она меньше 200 км/ч, а расстояние между пунктами   и   равно 860 км.

Ответ: 100 км/ч.

 

19. Из пункта   по одному и  тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет   скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 час раньше, чем легковой автомобиль.

Ответ: 72 км/ч.

 

20. Из пункта   в пункт   выехал грузовик. Через час из пункта   выехал легковой автомобиль. Через 2 часа после выезда он догнал грузовик и прибыл в пункт   на 3 часа раньше грузовика. Сколько времени грузовик ехал от   до ?

Ответ: 12 часов.

 

21. Из   в   и из   в   одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошёл половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км, а когда второй прошёл половину пути, первому до конца пути осталось пройти 15 км. Сколько километров остаётся пройти второму пешеходу после того, как первый закончит переход?

Ответ: 8 км.

 

22. Моторная лодка и парусник, находясь на озере на расстоянии 30 км друг от друга, движутся навстречу друг другу и встречаются через час. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 часа 20 минут. Определить скорости лодки и парусника.

Ответ: 18 км/ч; 12 км/ч.

 

23. Из пунктов   и   навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Когда первый пешеход прошёл четверть пути от   до , второму до середины пути оставалось идти 1,5 км, а когда второй пешеход прошёл половину пути от   до , первый находился на расстоянии 2 км от второго. Найдите расстояние от   до , если известно, что второй пешеход шёл быстрее первого.

Ответ: 12 км.

 

24. В течение 7 ч 20 мин судно прошло вверх по реке 35 км и вернулось обратно. Скорость течения равна 4 км/ч. С какой скоростью судно шло по течению?

Ответ: 15 км/ч.

 

25. Моторная лодка спустилась вниз по течению реки на 18 км и вернулась обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Найти собственную скорость  лодки, если известно, что 6 км по течению реки лодка проплывает на 5 минут быстрее, чем против течения.

Ответ: 21 км/ч.

 

26. Моторная лодка спустилась вниз по течению реки на 20 км и поднялась вверх по притоку ещё на 10 км, затратив на весь путь 1 ч 10 мин. На обратный путь лодке потребовалось 1 ч 20 мин. Зная, что скорость течения реки равна скорости течения притока, найти собственную скорость лодки.

Ответ: 25 км/ч.

27. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 сек. Если пассажир идёт с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 сек. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

Ответ: 56 сек.

ПРОЦЕНТЫ

Задачи «на проценты» часто встречаются на различного рода соревнованиях, тестах, экзаменах. Нередки они и в олимпиадной практике. Разберем несколько примеров и предложим задания для самостоятельного решения. 

  Пример 1. Разложите   тетрадей в стопки так, чтобы число тетрадей одной из них составило   числа тетрадей другой стопки.

 

Решение. Обозначим число тетрадей в первой стопке через . Тогда, согласно условию, число тетрадей во второй стопке составляет . Так как число тетрадей в одной стопке составляет    числа тетрадей другой стопки, то получаем следующее уравнение:

.

Решая данное уравнение получаем, что . Отсюда, в одной стопке   тетрадей, а во второй   тетрадей.

 

Ответ: 30 тетрадей; 50 тетрадей.

 

Пример 2. Цену картофеля повысили на . Через некоторое время её понизили на . Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения?

 

Решение. Пусть первоначально картофель стоил . После повышения он стал стоить . После того как цену снизили картофель стал стоить:

.

Таким образом, картофель до повышения стоил дороже.

 

Ответ: до повышения.

 

Пример 3. Цены снизили на . На сколько процентов больше товара можно купить на ту же зарплату?

 

Решение. Пусть цена товара первоначально была х, а зарплата у. Тогда до снижения цен можно было купить   товара. После снижения, товар стал стоить:

.

Поэтому теперь можно купить   товара на ту же зарплату. Таким образом товара можно купить больше на .

 

Ответ: на 25% больше.

 

Пример 4. В классе не менее   и не более   учеников учатся без двоек. При каком наименьшем количестве учеников это возможно?

 

Решение. Так как хотя бы один двоечник в классе есть, то меньше всего учеников будет в классе, где двоечник только один. Поскольку двоечников – не более   от общего числа учеников, то всего в классе не менее   человек, то есть не менее   человек. Класс из   учеников, среди которых ровно один двоечник, удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: 23 ученика.

 

Пример 5. Буратино и папа Карло планировали положить свои капиталы на общий счёт в банк “Навроде” под   годовых, рассчитывая через год забрать вклад величиной . Крах банка изменил их планы. Буратино подарил часть своих золотых папе Карло, а остальные положил в банк “Обирон”, даже не поинтересовавшись процентной ставкой. Папа Карло присоединил полученные золотые к своему капиталу и сделал вклад в банк “Вампириал” под   годовых. Ровно через год они забрали свои вклады. Оказалось, что папа Карло получил , а Буратино – в три раза меньше. Сколько процентов годовых выплачивает банк “Обирон”?

 

Решение. Допустим, что Буратино положил в “Обирон” х золотых, а папа Карло – в “Вампириал” у золотых. Тогда их совместный капитал составляет . Первоначально они предполагали получить   золотых. Фактически папа Карло получил . Отсюда , , . Буратино получил в три раза меньше папы Карло, т.е. . Таким образом, прибыль Буратино составила   золотых. Т.е. банк “Обирон” выплачивает   годовых. 

 

Ответ: 0% годовых.

 

Пример 6. Статистика знает всё. В городской думе города Урюпинска   всех депутатов считают секвестр полезной мерой для экономики,  - вредной, а оставшиеся   стесняются произнести это слово вслух. В то же время остальные взрослые жители Урюпинска (не являющиеся депутатами) имеют другое мнение: лишь   из них считают секвестр полезным для экономики,  - вредным, а остальные   думают, что секвестр – это садовые ножницы. Сколько процентов всех взрослых жителей Урюпинска считают секвестр полезной мерой для экономики, если вредным его считают   из них?

 

Решение. Обозначим через   число депутатов, а