Переменное электромагнитное поле

Рассмотренные уравнения электромагнитного поля обобщают соотношения для постоянных полей: электрического и магнитного. Они же могут использоваться для описания переменного электромагнитного поля. Первое уравнение Максвелла распространяет закон полного тока на токи всех видов: проводимости, смещения и переноса:

,

где – плотность тока проводимости или переноса.

Второе уравнение Максвелла распространяет закон электромагнитной индукции с проводящего контура на любую среду:

Эти уравнения указывают на неразрывную связь электрического и магнитного полей и их взаимоопределяющее влияние.

Распространение теоремы Гаусса и принципа непрерывности магнитного потока на переменные поля не меняет форму уравнений, полученных для постоянных полей:

Максвелл сформулировал эти обобщения в виде постулатов при создании теории электромагнитного поля. Система уравнений электромагнитного поля также включает соотношения:

;

;

;

,

связывающие величины, входящие в основные уравнения поля.

Систему уравнений дополняют выражения для энергии поля. Максвелл постулировал энергию электромагнитного поля как сумму энергий электрического и магнитного полей, определенных по соотношениям для постоянного поля:

.

Тепловые потери в электромагнитном поле задаются законом Джоуля - Ленца в дифференциальной форме:

.

Полная система уравнений электромагнитного поля:

(10.36)

На границе проводящей и диэлектрической сред ток проводимости переходит в ток смещения, поэтому систему уравнений поля дополняет уравнение непрерывности линий полного тока:

,

из которого следует

,

или

. (10.37)

Уравнение (10.37) представляет собой закон сохранения заряда: ток, выходящий из объема, уменьшает заряд, заключенный внутри
него.

Тепловые потери и изменение энергии электромагнитного поля объединены теоремой Умова - Пойнтинга: мощность потока электромагнитной энергии, входящей в объем V, ограниченный поверхностью S, равна тепловой мощности, получаемой объемом V за счет электромагнитной волны, и изменению запаса электромагнитной энергии в данном объеме:

, (10.38)

где – вектор Пойнтинга [ВА/м²].

Теорема Умова - Пойнтинга получена для однородной среды в отсутствие отражений и источников энергии внутри объема V и выражает энергетический баланс: мощность, доставляемая потоком вектора Пойнтинга внутрь объема V, равна расходуемой внутри него мощности.

Энергия передается по диэлектрику, провода линии передачи служат каналами тока, организующими структуру поля в диэлектрике. Провода потребляют энергию из диэлектрика на покрытие тепловых потерь, по проводам энергия не передается.

Поверхностный эффект

В отличие от постоянного переменный ток i распределен неравномерно по сечению провода: плотность тока минимальна на оси провода и максимальна у его поверхности. Магнитный поток Ф распределен аналогично. Неравномерность распределения тока i и потока Ф по сечению провода обусловлена поверхностным эффектом. Поверхностный эффект вызван затуханием электромагнитной волны по мере ее проникновения вглубь проводника и состоит в неравномерном распределении электромагнитного поля в проводящей среде, которое и приводит к неравномерности распределения тока и магнитного потока по сечению.

В большинстве случаев поверхностный эффект вреден, так как уменьшает используемое сечение провода и увеличивает тепловые потери в нем. В установках поверхностного нагрева и закалки поверхностный эффект, наоборот, широко используется.

Зависимости кратности плотности тока в рассматриваемой точке по отношению к току на оси провода и фазового сдвига между векторами плотностей тока и от безразмерной величины , учитывающей радиус r провода, частоту ω переменного тока, магнитную проницаемость μ и электропроводность γ материала провода, приведены на рис. 10.2.

Плотность тока на оси провода может быть очень малой по сравнению с ее величиной у поверхности, но всегда отличной от нуля: . Фазовый сдвиг между векторами и может быть любым, в том числе и 180˚, что означает существование в проводе зон, в которых направления токов противоположны друг другу.

Эффект близости

В случае нескольких близко расположенных проводников с переменными токами неравномерность распределения тока в каждом из них определяется не только собственным полем, но и полями остальных проводников. Это явление называют эффектом близости. Эффект близости используют в индукционном поверхностном нагреве перед ковкой и штамповкой, для поверхностной закалки, наплавки и реставрации инструментов, сушки древесины.

Пусть два провода расположены близко, так что поле одного из них различным образом сцеплено с элементами другого (рис. 10.3).

Элемент m провода, расположенный у его внутренней поверхности, охвачен бóльшим магнитным потоком, создаваемым током соседнего провода, чем элемент n, расположенный у внешней поверхности провода. В результате ЭДС взаимоиндукции e_Mm элемента m больше ЭДС e_Mn элемента n. ЭДС индукции зависит от направления магнитных потоков, созданных токами собственного и соседнего проводов, и приводит к неравномерности распределения тока по сечению, дополняющей поверхностный эффект.

При встречном направлении токов в проводах ЭДС индукции равна разности ЭДС само- и взаимоиндукции:

e = e_L – e_M.

При этом ЭДС, наведенная во внутреннем элементе m,и вызванное ею индуктивное сопротивление элемента m окажутся меньше ЭДС и сопротивления внешнего элемента n, что увеличит плотность тока у внутренней поверхности обоих проводов относительно тока у их внешней поверхности.

При одном направлении токов ЭДС индукции равна сумме ЭДС само- и взаимоиндукции: е = e_L + e_M.

ЭДС, наведенная во внутреннем элементе m,и индуктивное сопротивление элемента m окажутся больше ЭДС и сопротивления внешнего элемента n, что уменьшит плотность тока у внутренней поверхности проводов относительно тока у внешней поверхности.