Свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.

Точки разрыва и их классификация

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрывафункции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимойточкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Основные теоремы о непрерывных функциях

Рассмотрим несколько теорем о непрерывных функциях без доказательства.

Теорема 1: сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема 2: пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Теорема 3: если функция непрерывна и строго монотонна на оси ОХ, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси ОУ.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (Вейерштрасса):если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Следствие:если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2 (Больцано – Коши):если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие:если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль.