Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах

Скалярное произведение векторов

Пусть точки , . Тогда длина отрезка, соединяющего концы векторов , , находится по очевидной формуле: . Для расстояния от начала введем обозначения . Перейдем к углам между векторами. Если j - угол между отрезком, соединяющим О с и положительной осью a₁, а - угол между отрезком, соединяющим О с и той же осью, то углом между векторами и будет . Тогда . Введем обозначение: .

Определение.Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть .

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то скалярное произведение равно нулю. Для обозначения скалярного произведения часто используется запись .

Из определения следует, что скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны (угол между ними 90°, а ).

Свойства скалярного произведения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) при ;

5) скалярное произведение двух векторов, заданных декартовыми прямоугольными координатами, равно сумме произведений одноименных декартовых координат, то есть, если и , то .

Скалярное произведение вектора на себя есть квадрат длины самого вектора, а длина вектора из ортонормированного базиса равна единице.

С помощью скалярного произведения находят:

1. длину вектора : ;

2. расстояние d между точками А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂):

;

3. проекцию одного вектора на направление другого вектора : ;

4. косинус угла между векторами: , где j - угол между векторами и ;

5. координаты орта вектора , то есть координаты вектора, направленного так же, как , но по длине равного единице. Координаты орта вектора совпадают с его направляющими косинусами: , , .

Векторное и смешанное произведение векторов

Определение.Векторным произведением двух непараллельных векторов и называется третий вектор , обозначаемый или и удовлетворяющий следующим условиям:

1. вектор ортогонален каждому из векторов и , то есть перпендикулярен плоскости, в которой лежат эти вектора;

2. если векторы , , отложены от одной точки О, то с конца вектора поворот от вектора к вектору на меньший угол осуществляется против часовой стрелки; в этом случае тройка , , называется правой;

3. , где - угол между векторами и ; если векторы и параллельны, то полагают .

Свойства векторного произведения:

1. ; 2) ; 3) ;

2. величина модуля векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

3. координаты векторного произведения векторов и можно найти через определители следующим образом: .

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. Обозначается смешанное произведение следующим образом: или просто .

Свойства смешанного произведения:

1. - т.е. перестановка в произведении двух векторов местами ведет к смене знака всего произведения;

2. модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , , . При этом , если тройка , , - правая и , если тройка векторов левая;

3. если векторы , , заданы декартовыми координатами, то ;

4. три векторы , , лежат в одной плоскости (компланарны) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.