Прямоугольная система координат. Основные задачи

Положение любой точки в пространстве можно однозначно определить с помощью прямоугольной системы координат. Эта система включает три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке О – начале координат. Одну из осей называют осью абсцисс (ось Ох), другую – осью ординат (Оу), третью – осью аппликат (Оz).

На каждой из осей выбраны единичные векторы, которые обозначают соответственно Если М – произвольная точка пространства, то вектор называется радиусом-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат Охуz называются координаты радиус-вектора Если – (х; у; z), то координаты точки М записывают так: М (х; у; z); здесь число х – абсцисса, у – ордината, z – аппликата точки М. Каждой тройке чисел (х; у; z)соответствует одна и только одна точка пространства, и наоборот.

Расстояние между двумя точками М₁ (х₁; у₁; z₁) и М₂ (х₂; у₂; z₂) вычисляется по формуле

Координаты (х; у; z) точки М, делящей в заданном отношении λ отрезок АВ, (А (х₁; у₁; z₁), В (х₂; у₂; z₂)), определяются по формулам (2)

В частности, при λ = 1 (точка М делит отрезок АВ пополам), получаются формулы для определения координат середины отрезка (3)

Лекция 10. Плоскость в пространстве. Различные виды

Уравнения плоскости

Каждая плоскость в пространстве Охуz определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени.

1.Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору

(1)

Уравнение (1) называют также уравнением пучка (связки) плоскостей.Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением плоскостей

А₁х + В₁у – С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у – С₂z + D₂ = 0 имеет вид

А₁х + В₁у – С₁z + D₁ + λ (А₂х + В₂у – С₂z + D₂) = 0, (2) где λ – числовой множитель.

2. Общее уравнение плоскости:

(3)

Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. В частности, –нормальный вектор плоскости, заданной уравнением (2.3)

Частные случаи уравнения (3):

(В = 0) – плоскость проходит через начало координат;

(С = 0) – плоскость параллельна оси Оz (аналогичный смысл имеют уравнения , );

(В = С = 0) – плоскость проходит через ось Ох

( , – через ось Оу и Ох соответственно);

Ах = 0, т.е. х = 0 (В = С = D = 0) – плоскость совпадает с плоскостью Оуz (у = 0, z = 0 – уравнения плоскостей Охz и Оху соответственно).

3. Уравнение плоскости в отрезках: (4)

где а, b, с – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскостью координатных осей Ох, Оу и Оz соответственно.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М₁ (х₁; у₁; z₁), М₂ (х₂; у₂; z₂) и М₃ (х₃; у₃; z₃):

(5) Уравнение (5) в векторной форме имеет вид (6) где – радиус-векторы точек М (х; у; z), M₁, M₂ и М₃ соответственно.

5. Нормальное уравнение плоскости:

(7)

где р – длина перпендикуляра ОК, опущенного из начала координат на плоскость; a, β, γ – углы, образованные единичным вектором , имеющего направление перпендикуляра ОК, с осями Ох, Оу и Оz (соs² a + соs² β + cos² γ = 1).

Уравнение (7) в векторной форме имеет вид (8)

Общее уравнение плоскости (3) приводится к нормальному виду (7) путем умножения на нормирующий множитель

(9) знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости).

Угол между двумя плоскостями, условия параллелью и перпендикулярности двух плоскостей; расстояние данной точки до данной плоскости

Углом между плоскостями в пространстве называется угол между нормальными векторами этих плоскостей. Если две плоскости Q₁ и Q₂ заданы уравнениями А₁х + В₁у + С₁z + D₁= 0 и

А₂х + В₂у + С₂z + D₂= 0 то величина угла j между ними вычисляется по формуле (10)

Наименьший,из двух смежных углов, образованных этими плоскостями находится по формуле:

(11)

Условие параллельности двух плоскостей Q₁и Q₂имеет вид (12)

условие перпендикулярности А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0, (13)

плоскости совпадают, когда (14)

Расстояние d от точки до плоскости

находится по формуле (15)

Если плоскость задана уравнением , то расстояние от точки М₀ (х₀; у₀; z₀) до плоскости может быть найдено по формуле

(16)