Лекция 25. Основные методы интегрирования

Замена переменной интегрирования

При нахождении многих интегралов оказывается эффективной следующая идея: вместо исходной переменной х вводят новую переменную по формуле или (где φ- дифференцируемая функция) таким образом, чтобы относительно новой переменной интеграл был значительно проще, вычисляют этот преобразованный интеграл, а затем возвращаются к старой переменной.

Если f(x)- непрерывная функция, F(x)- её первообразная, а φ(х)- дифференцируемая функция, то изложенная идея выглядит так:

В частном случае

Этот факт можно сформулировать в виде правила: Если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл равен натуральному логарифму модуля знаменателя.

Интегрирование по частям

Суть метода заключается в использовании формулы

Для применения этой формулы подынтегральное выражение следует представить в виде произведения одной функции и на дифференциал другой dv. При переходе от левой части формулы к её правой части мы должны функцию и дифференцировать, а выражение dv- интегрировать.

Интегрирование иррациональных функций

1. Если корни в подынтегральном выражении имеют вид: , то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подстановки , где k- наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел n,q,s.

2. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни , то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки , где k- наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел n,q,s.

3. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни , то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки , где k- наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел n,q,s.

4. Если подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином, т. е. выражение вида , где т, п, р –рациональные числа, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби в следующих трёх случаях:

а) При р- целом - подстановка , где k- общий знаменатель дробей т и п.

б) При целом – подстановка , где k- знаменатель числа р

в) При целом – подстановка , где k- знаменатель числа р.

Интегрирование тригонометрических функций

1. Если под знаком интеграла стоит выражение , получающееся из функций и некоторых констант с помощью четырёх арифметических действий, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной подстановки , в этом случае .

2. Если = , то целесообразно применить подстановку .

3. Если = - , то интеграл рационализуется с помощью подстановки .

Если же =- , то интеграл рационализуется с помощью подстановки .

4. Если , где т и п –четные неотрицательные числа, то применимы формулы: ,

5. При вычислении интегралов ,

пользуются тригонометрическими формулами:

Интегралы вида вычисляются с помощью формул и , позволяющих понизить степень тангенса и котангенса.