Лекция 17. Производная функции

Понятие производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента , когда , называется производной функции в точке . Обозначается: или или .

По определению производной имеем: .

Вычисление производной называется дифференцированием функции.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Таблица производных и основные правила дифференцирования

1.

2. ; в частности

3. ; в частности

4. ; в частности

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Имеют место следующие основные правила дифференцирования (здесь С- постоянная, а u и v- функции от х, имеющие производные):

13. 14.

15. 16.

Пусть функция имеет производную в точке , а функция - в точке . Тогда сложная функция также имеет производную в точке , причем .

Геометрический смысл

Пусть функция задана на некотором интервале и непрерывна в точке . Выберем какую – нибудь точку , и через точки и проведем прямую, называемую секущей графика функции и задаваемую уравнением Если окажется, что существует предел , то секущая при стремится занять предельное положение в виде прямой , которую называют касательной к графику функции в точке . Поскольку , то существование предела равносильно существованию производной и численному равенству . Этим и определяется геометрический смысл производной, а именно:

существование производной означает наличие касательной к графику функции в точке , а величина производной равна угловому коэффициенту этой касательной (тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс) так, что уравнение касательной имеет вид .

Физический смысл

Если некий физический процесс описывается функциональной зависимостью , то отношение возможно трактовать как среднюю скорость изменения переменной у по отношению к переменной х. Предел в этом случае можно трактовать как мгновенную скорость изменения переменной у относительно переменной х в точке .

Например, если физическое тело, движется прямолинейно, проходит за время путь , то его средняя скорость на участке от до есть , а мгновенная скорость равна .

Логарифмическая производная

При нахождении производных от функций вида , а также других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное и извлечение корня), удобно применять метод логарифмического дифференцирования.

Метод логарифмического дифференцирования позволяет легко найти производную от сложной функции вида , где u и v- функции аргумента х. Логарифмируя обе части исходного равенства, получим .

Дифференцируя это соотношение, имеем .

Умножая обе части равенства на у и заменяя затем у через , получаем окончательно: .

Производная неявной функции

Пусть функция , имеющая производную в точке х, задана неявно уравнением . Тогда производную этой функции можно найти следующим образом:

1. Находим производную от левой части равенства, рассматривая при этом у как функцию от х, и приравниваем её нулю.

2. Решаем полученное уравнение относительно ; в результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде .

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция у аргумента х задаётся при помощи пара-

метрических соотношений причем и - дифференцируемые функции аргумента t и . Производная от у по х находится путем дифференцирования и , откуда: