Что следует из соответствующего свойства несобственного интеграла

Заметим, что если интегралы справа абсолютно сходятся в разных полуплоскостях и то интеграл слева сходится в их общей части.

Разумеется, теорема линейности справедлива для любого конечного числа слагаемых:

В частности, при имеем

3.1.2. Изображения простейших функций. В качестве применения теоремы линейности найдем изображения функций где действительное число.

По формуле Эйлера имеем

Применяя свойство линейности (3.1), где положено и пользуясь формулой – соответствием (1.3), где следует принять получим

если

Аналогично получим

если

Итак,

(3.2)

(3.3)

Исходя из определения гиперболических функций

найдем их изображения, пользуясь (3.1) и (1.3):

Это справедливо, когда одновременно выполняется и , т.е. когда .

Итак,

(3.4)

(3.5)

3.1.3. Теорема подобия.Если то для любого числа

(3.6)

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на это число.

Доказательство.Найдем изображение функции , т.е.

.

Сделаем замену переменной , откуда найдем , .

Тогда

.

Таким образом,

.

Проиллюстрируем применение этой теоремы на примере. Найти изображение функции . Допустим, что нам известно соответствие (3.2) только для частного случая, когда , т.е.

.

Применив теорему подобия к этому соответствию, найдем

Что, естественно, совпадает с полученным ранее результатом.

3.1.4. Теорема смещения. Если , то для любого числа действительного или комплексного имеет место соотношение

при , (3.7)

т.е. умножение оригинала на функцию влечет за собой «смещение» аргумента изображения на .

Доказательство.Если функция является оригиналом, то при любом функция также является оригиналом, так как из оценки вытекает оценка

при .

Значит показателем роста функции является число , а ее изображение определено в полуплоскости , иначе, для тех значений , для которых . Найдем изображение этой функции:

.

Легко заключить, что справедливо также соотношение

, если . (3.7 а)

Теорема смещения дает возможность расширить таблицу соответствий: по известным операционным соотношениям находить изображения тех же функций, умноженных на экспоненту или .

На основании теоремы (3.7) и полученных ранее соответствий (3.2), (3.3), найдем

. (3.8)

Используя (3.7а) и те же соответствия (3.2), (3.3), найдем изображения затухающих колебаний:

. (3.9)

Аналогично из (3.4) и (3.5) получаем

, (3.10)

. (3.11)

Область комплексной плоскости, в которой имеет место каждое из этих соответствий, оговорена в теореме смещения.

Пример 3.1. Найти изображение функций .

Решение. Используя свойство линейности и формулы соответствия (3.9), получим

.