Особенности функции в бесконечно удаленной точке

Под точкой понимают абстрактную точку плоскости , окрестностью которой, является множество чисел , удовлетворяющих неравенству , где любое действительное положительное число. Ряд Лорана функции в окрестности точки определяют с помощью замены переменной для функции в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности точки имеет вид

,

где главная часть,

правильная часть.

Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает возможность классифицировать ее особенности в этой точке.

Точка называется устранимой особой точкой функции, если , где .

Ряд Лорана в этом случае не содержит положительных степеней

.

Точка называется полюсом функции, если .

Если ряд Лорана в окрестности содержит конечное число положительных степеней:

,

то точка называется полюсом порядка .

Точка называется существенно особой для функции, если не существует.

Ряд Лорана в этом случае содержит бесконечное число положительных степеней .

Заметим, что точка называется нулем порядка функции , если точка является нулем порядка для функции .

УПРАЖНЕНИЯ

95. Найти нули функции и определить их порядки.

Решение. Полагая , получим , откуда или . Первое уравнение имеет корни . Корнями второго уравнения являются числа .

Итак, точки нули функции .

Определим их порядки. Точки нули 2-го порядка, так как они являются нулями 1-го порядка для функции и . В самом деле, в силу (7.6) получаем

Тогда является нулями 1-го порядка данной функции , так как

при .

96. Найти особые точки функции и выяснить их характер:

а) б)

в) ; г) .

Решение.а) Особая точка функции (знаменатель дроби обращается в нуль). Легко видеть, что , значит, согласно (7.2), полюс, причем 3-го порядка, так как по определению (7.3)

.

б) Изолированные особые точки простые полюсы, так как для функции точки являются нулями 1-го порядка. Действительно,

.

в) Особые точки: .

Выясним их характер. Отметим, что в точке обращается в нуль и числитель. Найдем предел функции при

Следовательно, согласно (7.1), точка является устранимой особой точкой. Точка простой полюс, так как для функции эта точка является нулем 1-го порядка. В самом деле, функцию можно представить в виде , где аналитична в точке и . Точки также являются простыми полюсами, так как для функции они являются нулями 1-го порядка в силу того, что .

г) в окрестности особой точки для имеет место следующее разложение:

Главная часть лорановского разложения содержит бесконечно много членов. Следовательно, точка является существенно особой для функции .

Замечание. Исследование функции в существенно особой точке можно произвести лишь с использованием ряда Лорана.

97.Определить характер особой точки для функций:

а) б)

в) г)

Решение.а) Точка устранимая особая точка данной функции, так как

б) точка полюс функции так как Порядок полюса равен порядку полюса функции в точке , функция же имеет в точке полюс 1-го порядка, так как функция имеет в этой точке нуль 1-го порядка, в чем легко убедиться следующей проверкой: Таким образом, простой полюс данной функции.

в) Разложим данную функцию в ряд Лорана в окрестности точки

Так как главная часть ряда Лорана содержит конечное число положительных степеней и старшая степень равна 3, то особая точка есть полюс 3-го порядка данной функции.