Учитывая замечание в п. 1.2.1 об использовании функции Хевисайда для записи оригиналов, соотношение (3.12) можно записать в виде

. (3.12 а)

Теорема запаздывания является удобным способом для нахождения изображений кусочно-непрерывных функций, которыми, как правило, описываются импульсные процессы. Часто встречающиеся в технических приложениях кусочно-непрерывные и периодические функции имеют различные аналитические выражения в различных промежутках значений аргумента; с помощью функции Хевисайда они могут быть записаны единым аналитическим выражением, после чего успешно применяется теорема запаздывания для получения изображений ступенчатых и периодических функций.

Пример 3.3. Найти изображение импульса

Рис.3.2

действующего в течение промежутка времени . График его изображен на рис. 3.2.

Решение. С помощью функции Хевисайда данную функцию можно записать единым аналитическим выражением

.

Воспользовавшись соответствием и теоремой смещения, найдем . И, наконец, по свойству линейности получаем

.

3.2. Дифференцирование и интегрирование оригиналов

Рассмотрим правила отображения операций дифференцирования и интегрирования оригиналов. Следующая теорема устанавливает связь между производными оригинала и его изображением.

Теорема дифференцирования оригинала.Если непрерывно дифференцируема на и является оригиналом, то из следует:

, (3.13)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на параметр и вычитанию , где под следует понимать | .

Доказательство.Найдем преобразование Лапласа для

Проинтегрируем по частям, помня, что в точке функция может иметь разрыв первого рода. Положим тогда и

.

Значение первого слагаемого зависит от поведения при и . В процессе доказательства теоремы существования изображения была получена оценка

где показатель роста оригинала . При условии . Следовательно, когда Оригинал в точке является либо непрерывной функцией и тогда так как, по определению при , либо имеет разрыв первого рода и тогда существует конечный правый предел, т.е.

.

Следовательно, .

Итак, окончательно получаем

.

В частности, когда ,

(3.13 а)

Применим правило (3.13) ко второй производной предполагая, что производные любого порядка оригинала существуют и являются оригиналами.

Так же найдем

Применив правило (3.13) раз, найдем

где

Таким образом, получено обобщенное правило соответствия для производной любого порядка оригинала :

. (3.14)

Если то формула – соответствие (3.14) приобретает простой вид

(3.14 а)

Пример 3.4. Найти изображение функции если известно '

Решение. Используя (3.13а), получим

,

Что совпадает с полученным ранее результатом (3.3).