С помощью единичной функции соответствие (1.3) можно записать в виде

.

Полагая здесь , снова получаем соответствие (1.2)

которое можно записать и так:

.

2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОРИГИНАЛА

Требования 1, 2, 3 наложены на функцию неслучайно. Только при таких условиях несобственный интеграл (1.1) сходится и, следовательно, определяет некоторую функцию . Установлено, что условия 1-3, которые удовлетворяют оригиналы, являются достаточными условиями сходимости интеграла Лапласа. Но если является оригиналом, то возникает вопрос, в какой области комплексной плоскости интеграл Лапласа сходится, т.е. существует изображение . Именно с таким вопросом мы столкнулись и дали на него ответ при отыскании изображения единичной и показательной функции, исходя из его определения. Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема (существования изображения).Если функция - является оригиналом, то ее изображение определено для всех значений комплексного переменного , удовлетворяющих условию , т.е. в полуплоскости , где показатель роста функции , и является аналитической функцией в этой области.

Рис.2.1

Геометрически теорему можно истолковать следующим образом. Если на комплексной плоскости через точку действительной оси (рис.2.1) провести прямую параллельно мнимой оси , то интеграл (1.1) сходится везде в области, расположенной правее от этой прямой, причем функция является аналитической в ней.

Доказательство.Для доказательства первой части теоремы достаточно установить абсолютную сходимость интеграла Лапласа в области . Известно, что абсолютная величина интеграла не больше интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции, т.е.

.

По условию оригинал и, следовательно, выполняется условие 3, согласно которому

.

Кроме того,

Поэтому

.

Тогда

(2.1)

. Отсюда в силу признака сравнения вытекает сходимость интеграла Лапласа, а значит, существование изображения для тех значений р, у которых .

Доказательство второй части теоремы, а именно аналитичности функции в полуплоскости сложнее и здесь не будет проведено. Оно основано на свойствах равномерно сходящихся интегралов.

Следствие (поведение изображения, на бесконечности). Если точка р стремится в бесконечность так, что , то изображение .

Справедливость этого утверждения непосредственно следует из неравенства (2.1). Действительно, , но , а поэтому .

Приведенные теорема и следствие позволяют высказать следующее суждение: не всякая функция комплексного переменного р может служить изображением некоторого оригинала . Из аналитичности функции в полуплоскости следует, что все особые точки должны лежать левее прямой (или на самой прямой). По этой причине функция не является изображением: она имеет бесконечное число полюсов на оси . Функция также не является изображением, так как не стремится к нулю, когда .

Обсудим полученные в п.1.2 операционные соотношения (1.2) и (1.3) в связи с приведенной теоремой. Правая часть формул–функция определена и аналитична при всех значениях р, кроме , где она имеет полюс.