ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

 

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

 

Теорема.Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения.

Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решения по виду ,а затем метод неопределенных коэффициентов.

Возможны следующие виды :

1. Если многочлен n ‒ й степени.

где ‒ многочлен, той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.

Пример.

Решение:

Подставим в исходное уравнение.

 

2. Если правая часть уравнения , где α ‒ любое число, тогда

, где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.

В частном случае , то , где A‒неопределенный коэффициент.

Пример.

Решение:

3. Если , a и b‒ действительные числа.

,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с (если D< 0) и r= 0(если D≥ 0).

Пример.

Решение:

D= 0

Ответ: .

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СУММА РЯДА.

Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.

где u_1,u_2,u₃…., u_n…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.

Числа u_1,u_2,u₃…., u_n… называют членами ряда, а u_n– общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

S_n= u₁ + u₂ +… + u_n,

т.е. S₁= u₁; S₂= u₁+ u₂

S_n= u₁+ u₂+…+ u_n

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы S_n при n , то есть

Число S называется суммой ряда.

В противном случае:

Тогда ряд называется расходящимся.

Эталонные ряды.

1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)

.

.

Пример.

2. Гармонический ряд.

3. Обобщенный гармонический ряд.

Пример.

.

Признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1. Необходимый признак сходимости.

C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.

Пример.

Достаточные признаки

Теорема 1.Признак сравнения рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

и

Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Пример.Исследовать ряд на сходимость:

Сравним этот ряд с геометрическим рядом:

Сравним ряды:

и так далее.

Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.