Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

 

Это дифференциальные уравнения вида:

или

Проинтегрировав, найдем y.

Пример.

Решение:

Пусть

 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Это дифференциальные уравнения вида:

Решается заменой

Подставим в исходное уравнение , получим

Проинтегрировав, найдем функцию Z, а затем функцию y.

Пример.

Решение:

Пусть

Тогда , так как

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

 

Это дифференциальные уравнения вида:

Решается подстановкой:

Подставим полученное в уравнение :

Подставив в равенство значение функции u, получим дифференциальное уравнение с разделяющимся переменными, решив которое, найдем функцию v, а затем и функцию y.

Пример.

Решение:

Подставим в уравнение ,

Подставим значения uв равенство (2), получим:

Тогда,

Так как при x=1, , то подставив в общее решение, получим:

Подставим значение Cв общее решение, получим:

Проверка:

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.

 

Иногда решение дифференциальных уравнений второго порядка можно свести к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда говорят, что дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.

Это дифференциальные уравнения вида:

или

Пример 1.

Пример 2.

Уравнения этого типа решаются заменой переменной Следовательно,

Подставим в дифференциальное уравнение .

Подставив значение zв дифференциальное уравнение , найдем функцию y.

Пример.

Решение:

Так как при x= 1, y = 0 и при x = 1, , то

Ответ: .

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

 

Это дифференциальные уравнения вида:

При получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Для его решения составим характеристическое уравнение:

При его решении возможны следующие три случая:

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка находим по формуле:

2. ЕслиD=0, то общее решение находится по формуле:

Тогдаобщее решение дифференциального уравнения находим по формуле:

 

3. , то корни комплексно - сопряженные.

Тогда общее решение находится по формуле:

Пример 1.

Решение:

При

При

Ответ:

Пример 2.

Решение:

2 способ:

При

При

Ответ:

Пример 3.

Решение:

При

Ответ: