Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большойфункцией при х →x₀, если f(x) = .

Определение 2. Функцияf(x) называется бесконечно малой функцией при х →x₀, если f(x) = 0.

Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1.Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2.Пределсуммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

= f(x) φ(x).

Теорема 3.Пределпроизведения двух функций равен произведению их пределов:

= f(x) φ(x).

Теорема 4.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, ¹ 0.

Теорема 5.(О пределе промежуточной функции) Если в окрестности точки x₀выполняются неравенства:

и = = А, то .

ТЕХНИКА ВЫЧЕСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

Замечательные приделы.

Пример 1.

Будем говорить, что предел отношения двух функций есть неопределенность вида или , если числитель и знаменатель дроби одновременностремятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения , если он существует или установить, что этот предел не существует.

Пример 2.

Из рассмотренного примера следует правило: чтобы раскрыть неопределенность вида при x→x₀ функции, заданной в виде отношения двух многочленов, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель x−x₀ и дробь на него сократить.

При вычислении пределов отношения двух многочленов при x→ дляраскрытия неопределенности вида надо числитель и знаменатель дроби разделить на x в старшей степени.

Пример 3.

Пример 4.

Первый замечательный придел.

Теорема.Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице.

Следствие 1.

 

Следствие 2.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Второй замечательный придел.

– экспонента.

Следствие 1.

Пример 1.

Пример 2.

Неопределенность

Пример 1.

 

Пример 2.

 

Квадратный трехчлен. Неопределенность

Пример 1.

 

Пример 2.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

 

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции в общем виде:

Производная функции в точке x₀:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Пример 1.

y = C; где С = const

∆y = C – C = 0;

Пример2.

Производная степенной функции:

Механический смысл производной связан с производной от пути.

Производная от пути в некоторый момент времени равняется скорости в этот момент времени.

Sʹ(t₀) = V(t₀) или Sʹ_t = V

Sʹʹ(t₀) = Vʹ(t₀) = a(t₀)

Пример 3.

,

t₀ = 1c,

Решение:

V(t₀ = 1) =

Sʹʹ(t) =

a(t₀ = 1) = Sʹʹ (1) = 2 · 1 + 8 = 10 м/с²

Вывод:

Производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной.

Рис.8

Значение производной функции y = f (x)в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

Воспользовавшись уравнением прямой , получим уравнение касательной:

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Из условия перпендикулярности двух прямых , получим уравнение нормали. Так как

Тогда уравнение нормали имеет вид:

Пример 4.

Найти уравнение нормали и касательной к параболе.

Решение:

– уравнение касательной.

Теорема.Пусть функции и – дифференцируемы в точке x. Тогда:

1) Производная суммы (разности) двух функций:

2) Производная произведения двух функций:

3) Производная частного двух функций:

4) Производная от переменной равна единице:

5) Производная сложной функции

Пусть , тогда является сложной функцией переменной x, а переменную и называют промежуточным аргументом.

Сложная функция– это зависимость двух и более функций друг от друга.

Производная сложной функции находится по формуле:

и

Пример 5.

6) Производная обратной функции

Пусть функция строго монотонна в интервале , тогда для нее существует обратная функция .

Находится по формуле:

Пример 6.

Так как

Аналогично выводятся производные других функций.

7) Производные гиперболических функций.

Гиперболические функции определяются следующими формулами:

Производные гиперболические функции находятся по формулам:

1.

2.

3.

4.

Техника дифференцирования:

Пример 1.

Пример2.

Пример3.

Пример4.