Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Пусть каждому натуральному числу nпоставлено в соответствие действительное число x_п. Тогда говорят, что задана последовательность чисел x₁, x₂, x₃, …, x_n, … .

Числа x₁, x₂, x₃, …, x_n, будем называть элементами (или членами) последовательности, x_n–общим членом последовательности. Сокращенно последовательность обозначается .

Например:

1) 1, 3, 5, …, 2n – 1 – арифметическая прогрессия.

d = 2;x_n= 2n – 1; x₁₀₀ = 2 ·100 – 1 = 199.

d =x₂ – x_{1 =} x₃– x₂ = … – разность прогрессии.

2) – геометрическая прогрессия.

q= – знаменатель прогрессии.

x₅= ;

3)

x_n= ;

Определение 1.Последова­тельность {x_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа mиMтакие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

Пример:

В противном случаи последова­тельность {x_n} называется неограниченной.

Пример:

1, 2, 3, …, n – неограниченная последовательность.

Определение 2.Число a называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого ε> 0найдетсячисло N (номер), зависящее от ε, такое, что для всех натуральных чисел n>N выполняется неравенство:

Тогда последовательность {x_n} называется сходя­щейся, и в этом случае пишут:

Пример:

Для любого

Так как , то

Пусть , тогда .

Следовательно 99.

Например:

, тогда .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Пусть функция y =f(x) определена в некоторойокрестностиx₀,кроме, может быть, самой точки x₀.

Определение.ЧислоA называется пределом функцииy =f(x) в точке x₀ (или при х →x₀), если для любого сколь угодно малого числа ε> 0найдетсятакоечисло δ> 0, что для всех х ¹x₀, удовлетворяющих неравенству

│ х –x₀│< δ, выполняется неравенство│f(x) –А│<ε.

Или кратко:

ε> 0 δ > 0, x:│ х –x₀│< δ, х ¹x₀=> │f(x) –А│<ε.

Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число , если для любой ε – окрестности точкиAнайдется такая δ – окрестность точки x₀, что для всех х ¹x₀ из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε – окрестности точки А.

Рис.7

Пример:Доказать, что

Решение. Возьмем произвольное и найдем такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство , то есть .

Взяв , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство , следовательно,

Пусть функция y =f(x) определена в промежутке (– ; + ).

Определение.ЧислоA называется пределом функцииf(x) при х , если для любого числа ε > 0существуеттакоечисло M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │x│>M,выполняется неравенство │f(x) – А│< ε. В этом случае пишут f(x) = А.

Или кратко:

ε> 0 M> 0, │x│ >M=> │f(x) –А│<ε.

f(x) = А.