Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры

Корректность - непрерывная зависимость решения от дополнительных условий в любой конечной точке области, т.е. если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются).

Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.

Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: .

Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут существенно различны.

10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.

Теория специальных функция – это теория следующих уравнений: (*) - линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть функция , т.е. - нуль первого порядка. Решение (*) всегда: . Рассмотрим решение в окрестности особой точки, в которой обращается в ноль.

Теорема. Если уравнение имеет ограниченное в точке решение , то все остальные решения (линейно независимые) не ограничены: . То есть существует одно ограниченное решение.

Доказательство: Из теории ОДУ знаем, что , - Вронскиан двух решений. Докажем: , тогда , чтд.

У нас ограничено, а - нет. Рассмотрим следующую величину: . Проинтегрируем эту величину: , , следовательно, этот интеграл расходится при , а это значит, что , чтд.

Уточним теорему: рассмотрим два случая.

1. в окрестности точки , ~ , т.е. как логарифм.

2. ~ ~ - полюс порядка .

Проанализируем получившееся решение:

Если требуется ограниченное решение в особой точке, то , т.к. . Так как полное решение (*) всегда является суммой двух решений: ограниченного и неограниченного, то ограниченность этого первого решения уже есть само по себе граничное условие.

Уравнение Бесселя.

Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.

Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: .

Рассмотрим некоторые её свойства.

1) Рекуррентные соотношения.

2) Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим .

Для этого выполним преобразования:

, подставим , но , тогда .

Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов.

3) Нули функции Бесселя.

1. Они есть и их бесконечно много, следует из асимптотики: . 2. Все нули, кроме , простые, изолированные. 3. Все нули действительные, положительные. 4. и не имеют общих нулей (см. рисунок). 5. При возрастании корень смещается, , - корни функции Бесселя.

a) особенность, построение ограниченного решения .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть . Таким образом : . Вычислим коэффициент , и выразим его через .

, коэффициент выбираем произвольно: , где .

Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к. .

Запишем формальный ряд: , если , тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любых по признаку Даламбера: , сходится при всех , радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение: - функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение.

Случай рассмотрен в следующем пункте.

b) общее решение, , , , понятие о функциях .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет: , где - любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения .

Пусть - целое число, тогда при . сменим индекс: , получили соотношение: , то есть решения стали линейно зависимыми..

В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана.

Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения.

Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения):

- функции Ханкеля, их асимптотика .

Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений):