Теорема о среднем для гармонических функций

Теорема о среднем: Для любой гармонической функции в области D выполняется: - равна своему среднему значению по любой сфере с центром в точке р и радиусом R - .

Доказательство: запишем интегральную формулу:

Учтём что, . Функция - гармоническая в области D, тогда . Последний интеграл исчез. Воспользуемся первым свойством гармонических функций: интеграл по любой замкнутой поверхности внутри области гармоничности D равен нулю. Тогда получаем что, . Первый интеграл исчез. Рассмотрим второй интеграл, учтём, что производная по нормали совпадает с производной по радиусу: .

Чтд.

Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.

Теорема о максимумах и минимумах. Любая функция, гармоническая в области D и непрерывная на Г принимает своё максимальное и минимальное значения на границах и только на границах (за исключением тривиального случая U=const).

Доказательство: пусть теорема не верна. - максимум достигается во внутренней точке. Применим теорему о среднем: , видим, что: .

Вычтем: , но значит что разность всегда, а от неотрицательной непрерывной функции равен нулю в случае если на сфере , то есть получили, что максимум достигается на границе сферы , и в то же время в самой точке Р. В силу произвольности выбора точки Р и радиуса R максимальное значение достигается во всей области D и в том числе на границе. Т.о. пришли к исключающему варианту теоремы (получен тривиальный случай). Следовательно, максимум достигается только на границе.

Чтд.

Теорема о минимумах доказывается аналогично, заменой (u) на (-u).

Следствия:

1. Единственность. Задача Дирихле имеет единственное решение, если её однородная задача имеет только тривиально решение.

Рассмотрим первую краевую задачу Дирихле. . Пусть задача Дирихле имеет два решения: , тогда: из теоремы о mах и min следует, что - во всей области D в том числе и на границе.

2. Корректность - непрерывная зависимость решений от дополнительных условий в любой конечной точке области.

Если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются). Докажем.

Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.

Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: .

Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут различны при больших n.