A) Физический смысл стационарной задачи

Уравнение вида: или - называется уравнением Лапласа. Оно описывает стационарный процесс с установившимся распределением температуры сплошной среды. Описывает любые установившиеся процессы. При наличии источников тепла получаем уравнение: - неоднородное уравнение Лапласа – уравнение Пуассона.

B) Примеры

Уравнение теплопроводности: - описывает распределение температуры в сплошной среде. Если это распределение не зависит от времени, то уравнение теплопроводности примет вид: . Аналогично для колебаний.

C) Понятие о потенциалах

Заряд в точке Q создаёт поле, которое описывается потенциалом , а этот потенциал , r – расстояние от точки Q до некоторой точки р. Величина удовлетворяет уравнению Лапласа для всех : . То же самое можно сказать о потенциале системы зарядов - это есть сумма потенциалов отдельных зарядов.

D) Постановка задач

Постановка задачи (можно поставить задачу для разного числа переменных) состоит из составления уравнения и определения области изменения переменных.

Начальных условий здесь не будет, т.к. задача стационарная, а граничные условия не будут зависеть от времени:

Пишем уравнение:

Задаём область: пусть некоторая область D ограничена контуром Г, p – внутренние точки области D: .

Задаём краевые условия: (линейное краевое условие).

Первая краевая задача: - температура на границе

Вторая краевая задача: - поток тепла через границу

Третья краевая задача:

2. Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.

Пусть функции u,v дважды непрерывно дифференцируемы. Введём скалярное произведение: .

Формулы Грина:

1. Применим к u оператор L и перемножим скалярно с v: . Выведем эту формулу. Распишем скалярное произведение: . Рассмотрим отдельно первое слагаемое: . Для того чтобы воспользоваться формулой Гаусса - Остроградского преобразуем это выражение следующим образом - внесём под знак дивергенции так: , тогда теперь применим формулу Гаусса - Остроградского . Тогда наше скалярное произведение перепишется следующим образом: - первая формула Грина.

2. . – вторая формула Грина.

Теорема о единственности краевых задач:

Задача имеет единственное решение, если задача: имеет лишь тривиальное решение .

Доказательство: Воспользуемся первой формулой Грина: , где , ,

Рассмотрим все три типа краевых задач:

Первая краевая задача: + = 0 – т.е. сумма 2-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда =0 , и в силу получаем, что , ч.т.д.

Третья краевая задача: из условия теоремы следует, что т.е. получаем сумму 3-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда .

Вторая краевая задача:

Рассмотрим два случая:

1) любая является решением - нет единственности. В качестве примера может служить следующая задача: , ч.т.д.

2) является единственным решением.

Физический смысл соотношений, получаемых с помощью формул Грина.

Рассмотрим задачу и , u – решение ,

И пусть =1:

Используя 1-ую формулу Грина получаем ( , =1) т.е. если решение рассмотренной задачи существует, то для f и g выполняется условие , и решение не существует, если оно не выполняется. Это соотношение имеет физический смысл Тепло, выделяющееся источником внутри области, равно теплу, выходящему из области через границу в единицу времени.