Теория потенциалов, определение, основные свойства

Пусть в точке расположен заряд величины , тогда в любой точке пространства будет создаваться поле, потенциал которого: . Для системы зарядов, потенциал имеет вид: .

Диполь: Пусть в точках и расположены заряды, величиной –e и +e. - момент диполя, будем сближать точки и , сохраняя величину (увеличивая e), то в пределе при получим точечный диполь, расположенный в точке Q, потенциал которого равен: .

Рассмотрим интеграл: , - интегрируема (непрерывна) везде, кроме , если . Рассмотрим его сходимость и непрерывность.

Определение: будем говорить, что это интеграл сходиться равномерно в окрестности точки , если для любого существует такое , ( ), что для любой точки , ( - окрестность т. , ) выполняется : .

Теорема: если сходится равномерно в окрестности точки , то существует и непрерывна в точке .

Доказательство: разобьём на 2 функции: , рассмотрим разность: (она мала, если и близки).

Докажем более подробно. Поскольку сходится в окрестности , то берём и выбираем такое , что и , тогда выполняется и . Так как , то интеграл не является не собственным, и непрерывна в точке . Значит, для того же существует такое , что выполняется . Пусть , тогда выполняется , и , а следовательно и .

Чтд.

Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.

При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.

A) Объёмный потенциал

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными в области с плотностью , равен и называется объёмным потенциалом.

Свойство 1. Объёмный потенциал определён и непрерывен всюду.

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция , непрерывна в точке , то непрерывен в этой точке и интеграл .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки . Для этого оценим интеграл: , мы увеличили область, поместив всё в шар , радиуса . Перейдём в последнем интеграле к сферическим координатам и получим тогда: , чтобы интеграл был меньше заданного , достаточно взять .

Свойство 2. Объёмный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки .

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки , имеет в точке непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки , то этим свойством обладает и интеграл , причём производные вычисляются путём дифференцирования под знаком интеграла: , , - (1), где - координаты точки .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость в окрестностях точки интегралов от производных в правых частях формул. Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причём для производных , и справедливы формулы (1). Для определённости рассмотрим интеграл: . Оценим его: , т.к. .

Далее, , достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство .

Свойство 3. Объёмный потенциал является гармонической функцией вне области , в которой расположены заряды (массы). Это свойство следует из того, что для точек интеграл не является не собственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:

, т.к. для точек (а точнее P≠Q) имеем .

Свойство 4. в точках области объёмный потенциал удовлетворяет соотношению: , т.к. , .

Вторые производные рвутся.

Свойство 5. При стремлении точки наблюдения к бесконечности объёмный потенциал стремится к нулю ( - огр.).

Применим теорему о среднем: , где - суммарный заряд. Т.о. .