Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)

Функция f(x,y) называется однородной функцией относительно переменной x,y n-го порядка если для любого λ, f(λx, λy)= λⁿf(x,y). Дифференциальное уравнение называется однородным дифференциальным уравнением если однородная функция нулевого порядка, т. е. . Для нахождения решения однородного дифференциального уравнения делают подстановку или отсюда находят и подставляют в дифференциальное уравнение получим: - дифференциальное уравнение с разделяющими переменными. Получаем проинтегрируем пологая что и исследуем отдельно. Примечание: дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением, если P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одного и того же порядка.

3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:

Дифференциальное уравнения первого порядка вида приводятся либо к однородным дифференциальным уравнениям, либо к дифференциальным уравнениям с разделяющими переменными. а. При с=с₁=0 это очевидно: . б.Пусть тогда делают подстановку: , где , , t – новая переменная , тогда или , потребуем чтобы эта система линейных уравнений относительно неоднородна, она имеет единственное решение если ее определитель т.е. тогда - однородное дифференциальные уравнения относительно функции U находим его общий интеграл , а следовательно находим и решение исходного дифференциального уравнения . с.Пусть т. е. или отсюда и следовательно мы можем записать или тогда

- дифференциальное уравнение с разделяющимися уравнениями.

Замечание: д.у. вида , где -непрерывная функция, интегрируется также , как и д.у., рассматриваемое в этом пункте.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).

Д.у. вида , где -постоянные или непрерывные функции ~x называются линейными д.у. первого порядка. Неоднородным, если и однородным, если . Его решение ищут в виде

Так как у нас имеется лишняя степень свободы, то на одну из функции наложим дополнительное условие, в нашем случае потребуем, чтобы , тогда для функции получим уравнение

Итак,

Замечание:линейное д.у. первого порядка, когда , т.е. д.у. вида может быть решено и другим способом, как линейное д.у. первого порядка с постоянными коэффициентами.

К линейным д.у. первого порядка примыкает и уравнение Бернулли, т.е. уравнение вида: Это уравнение можно привести к линейному д.у. подстановкой

Замечание:

1) К уравнению Бернулли приводит задача о движении тела в среде, когда сила сопротивления среды зависит от скорости нелинейно, т.е.

2) Решая уравнение Бернулли ищут , не приводя его к линейному подстановкой , т.е. как линейное.