Комплексные числа (26)

Натуральные числа N: 0,1,2,3,… Целые числа: 0,

Рациональные числа: 1/2,1/3, 3/5 Иррациональные числа: и т. д.

Все это действительные числа. Обобщением действительных чисел являются комплексные числа z=x+iy где x-действительная часть комплексного числа R_eZ,

y- мнимая часть комплексного числа I_mZ, i- мнимая единица i²=-1

Z=x+iy=R_eZ+iI_mZ ( ), Z=x+iy называется алгебраической формой записи числа. Если I_mZ=0, то Z=x – действительное число. Если R_eZ=0, то Z=iy – число мнимоекомплексные число. Если R_eZ= I_mZ=0, то Z=0

Два комплексных числа Z₁=x₁+iy₁, и Z₂=x₂+iy₂ называются равными если R_eZ₁=R_eZ₂ (x₁=x₂) и I_mZ₁= I_mZ₂ (y₁=y₂). Комплексное число Z=x+iy и называются комплексно сопряженными.

Геометрический смысл комплексных чисел:

Рассмотрим Z=x+iy. Каждому Z ставится в соответствии точка M(x,y) на комплексной плоскости Z и наоборот.

Ось OX (абсцисс) называется действительной осью, а ось OY (ординат) называется мнимой осью.

Рассмотрим вектор: Любому вектору и преобразуем. Возьмем полярную систему координат точка M(x,y) , g – называется модулем комплексного числа, а - аргументом числа Z ( ). и определены неоднозначно а с точностью до числа кратного . Используя формулу (1) получим тригонометрическую форму записи комплексного числа . Используя формулу Эллера получим: , - действительные числа. Рассмотрим частные случаи:

Если - действительные числа. Если , , . В общем случаи: Модуль комплексного числа , argZ находится из уравнения

Пример:

R_eZ=1

I_mZ=-1

Замечание: Комплексно сопряженные числа Z=x+iy и геометрически изображаются двумя точками на комплексной плоскости зеркально симметричны относительно действительной оси (R_eZ). В показательной форме , то .

Действия над комплексными числами (27).

1. Сложение: Суммой двух комплексных чисел Z₁=x₁+iy₁ и Z₂=x₂+iy₂ называется Z=Z₁+Z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂). 2. Вычитание: Разностью двух комплексных чисел Z₁=x₁+iy₁ и Z₂=x₂+iy₂ называется Z которое будучи сложенным с Z₂ дает Z₁ Z=Z₁+Z₂=>Z₁=Z₂+Z=(x₁-_{_}x₂)+i(y1-y2), при сложении и вычитании комплексных чисел они должны быть представлены в алгебраической форме.

3. Умножение

Пр-ем комплексных чисел z1 b z2 называется такое комплексное число

Пр-р:

Если к.ч. , то

Деление.

такое к.ч. , что

определения деления сводится к определении умножения.

Пример:

Возведение к.ч. в целую степень.

(IV)

Возведение к.ч. в дробную степень извлечения корня.

Имеются n различных к.4. Zк, кат. имеют 1 и тот же модуль , а их аргументы

Все эти к.ч. лежат на окружности радиусом в вершинах правильного n-угольника, вписанного в эту окружность(n>=3). При n=2- на концах диаметра этой окружности.