Обыкновенные дифференциальные уравнения (29)

1. Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям:

Условие: тело массой m, падает на поверхность земли с высоты h, найдем закон движения υ(x): в нашем случае m=const, проектируя это уравнение на ось ОХ получим:

где ; или - дифференциальное уравнение 1^го порядка.

Дифференциальное уравнение 1^го порядка: Уравнения, связывающее независимую переменную х, функцию у, и ее производную т. е. уравнение вида называется дифференциальным уравнением первого порядка (обыкновенные). Порядок дифференциального уравнения определяется порядком производных. Примечание: Обыкновенные дифференциальные уравнения связывает независимую переменную х функцию у и ее производные до n-го порядка включительно и записывают . Решение дифференциального уравнения называют такую функцию которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение (1) обращает его в тождество. Если дифференциальное уравнение (1) можно разрешить относительно производной то его называют дифференциальным уравнением первого порядка разрешенным относительно производной и записывают . Для уравнения (3) справедлива теорема о существовании и единственности его решения: Если для дифференциального уравнения функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D на плоскости ОХY содержащей некоторую точку с координаты , то существует и притом единственное решения дифференциального уравнения удовлетворяющая условию при этом условие называется начальным условием для дифференциального уравнения (3). Геометрический смысл начального условия: Если y=y(x) решение дифференциального уравнения, то кривая описывающая этим решение проходит через точку (x₀,y₀=y(x₀)). Функция называют общим решением дифференциального уравнения (3) если: 1. она удовлетворяет при любом с дифференциального уравнения (3). 2. для данного начального условия существует такое значение с=с₀, что . Общим интегралом дифференциального уравнения (3) называют общее решение задаваемое не явно в виде уравнения в частности общее решение можно записать в виде общего интеграла . Частым решение называют общее решение при частном значении параметра с=с₀ т. е. - частное решение. Частный интеграл это общий интеграл при частном значении с=с₀ т. е. частный интеграл. Геометрический смысл общего решения (общего интеграла): общее решения дифференциального уравнения (3) описывает семейство кривых на плоскости ОХY . Аналогично общий интеграл – семейство кривых на плоскости OXY. Частный интеграл (частное решение) описывает ту кривую на плоскости OXY из семейства кривых, которая проходит через точку с координаты . Решить дифференциальное уравнение это значит: 1. найти его общее решение (или общий интеграл). 2. найти частное решение (или частный интеграл) если заданно начальное условие. В этом случае говорят – решить задачу Коши.