Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)

Интегралы вида: , где R- рациональная дробь по и . Здесь

производим замену ( ):

а).a>0 и D>0 т. е. не имеет действительных корней, тогда: рационализируются т. е. сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой :

т. е. рационализируются.

б.a>0 и D<0 т. е. имеет действительные корни. В этом случае и рационализируются интеграл подстановкой

т. е. рационализируется.

в.a<0 и D>0 тогда at²+D=α²-t² рационализируются подстановкой: t=αcosZ и t=αsinZ

т. е. рационализируется.

Замечание:Кроме указанных тригонометрических подстановок могут использоваться и другие подстановки, а именно гиперболические.

а.a>0 и D>0 Используем подстановку получаем:

(т. к. )

б.a>0 и D<0 Используем подстановку получаем:

. В этом случае лучше всего делать тригонометрические подстановки: t=αcosZ и t=αsinZ

Замечание № 2:Кроме тригонометрических подстановок используют: используют подстановки Эллера (1,2,3 подстановки).

1 подстановка Эллера:Если a>0, то делают подстановку

2 подстановка Эллера:c>0, тогда

3 подстановка Эллера:Если имеет действительные корни α и β то делают подстановку или и находят x и dx.

Замечание № 3:Существуют и другие классы интегралов от рациональных функций которые не всегда рационализируется а выражение в виде специальных функций к ним относятся эллиптические интегралы.

Определенный интеграл и его свойства (11)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b] разобьем отрезок [a,b] точками x₀=a, x₁ …, x_n=b на n частичных отрезков [x_i-1, x_i], i=1,…,n, обозначим через длинна отрезка на каждом отрезков [x_i-1, x_i] выберем произвольно составим сумму и назовем интегральной суммой для функции f(x) на [a,b].

Площадь этой ступенчатой фигуры равна . Так как f(x)-непрерывная функция на отрезке [a,b] то она и ограничена на [a,b] следовательно она ограничена и на каждом отрезке [x_i-1, x_i] т.е. существует m_i, M_i, что для i=1,…, n следовательно при >0, а следовательно ( нижняя интегральная сумма, верхняя интегральная сумма). Опр. Если существует предел интегральных сумм , когда то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и образует .

Итак по определению и этот предел не зависит как от способа разбиения отрезка [a,b] точкой x_i на частичные отрезки [x_i-1, x_i], так и от выбора точек в них.

частные случаи интегральной суммы . Численно при на [a,b] равен площади криволинейной трапеции ограниченной снизу осью абсцисс, сверху кривой f(x) с право кривой x=b, слева кривой x=b.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь кривой трапеции.