Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях

Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Значение частной производной функции в точке равно …

Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
.
Следовательно,

Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке

равна …

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где . Тогда

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …

			разрыва второго рода
			разрыва первого рода
			непрерывности
			устранимого разрыва

Решение:
Вычислим односторонние пределы функции в точке :
,
.
Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дифференциал второго порядка функции равен …

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная второго порядка функции имеет вид …

Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
.

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …

			разрыва второго рода
			разрыва первого рода
			непрерывности
			устранимого разрыва

Решение:
Вычислим односторонние пределы функции в точке :
,
.
Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.

Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке

равна …

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где , , а . Тогда

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дана функция . Тогда больший действительный корень производной этой функции принадлежит промежутку …

Решение:
Эта функция представляет собой полином пятого порядка и дифференцируема на всей числовой оси. Согласно теореме Ролля между двумя корнями (нулями) этой функции находится по крайней мере один корень ее производной. Поскольку представляет собой полином (4-го порядка), то между двумя корнями функции находится ровно один корень ее производной .
Найдем корни функции : . Тогда больший действительный корень функции принадлежит интервалу

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дана функция . Тогда меньший действительный корень производной этой функции принадлежит промежутку …

Решение:
Эта функция представляет собой полином 6-го порядка и дифференцируема на всей числовой оси. Согласно теореме Ролля между двумя корнями (нулями) этой функции находится по крайней мере один корень ее производной. Поскольку представляет собой полином (5-го порядка), то между двумя корнями функции находится ровно один корень ее производной .
Найдем корни функции : . Тогда меньший действительный корень функции принадлежит интервалу .

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка разрыва функции равна …2

Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью , равна …

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где и – это точки пересечения параболы и оси , а . Определим точки пересечения параболы и оси , решив уравнение . Получаем: и . Тогда

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Полный дифференциал функции имеет вид …

Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть
.
Тогда

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Предел равен …

Решение:
Для вычисления данного предела применим правило Лопиталя. Так как , то при помощи алгебраических преобразований получим неопределенность вида , или , например:
.
Тогда можно воспользоваться формулой вида , то есть .

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка разрыва функции равна …

			– 1

Решение:
Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов и меняет свое аналитическое выражение в точках и Поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывность.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
,
, и .
Так как , то точка является точкой непрерывности данной функции.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
,
, и .
Так как , то точка является точкой разрыва первого рода.

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …

			разрыва второго рода
			разрыва первого рода
			непрерывности
			устранимого разрыва

Решение:
Вычислим односторонние пределы функции в точке :
,
.
Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.

Тема: Приложения определенного интеграла
Длина дуги кривой от точки до точки равна …

Решение:
Длина дуги плоской кривой , ограниченной прямыми , , определяется по формуле . В нашем случае , , а .
Тогда

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …

Решение:
Воспользуемся приближенной формулой:
.
Полагая , , приходим к равенству
.
Вычислив последовательно
,
и , получаем:
.

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Полный дифференциал функции имеет вид …

Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть
.
Тогда

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка разрыва функции равна …

Решение:
Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов и меняет свое аналитическое выражение в точках и . Поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывность.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
,
, и .
Так как , то точка является точкой непрерывности данной функции.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
,
, и .
Так как , то точка является точкой разрыва первого рода.

Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке

равна …

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где , , . Тогда
.

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дифференциал второго порядка функции равен …

Решение:
Дифференциал второго порядка функции выражается формулой . Тогда, вычислив и , получаем, что