Тема: Линейные отображения

ДЕ1.Абстрактная алгебра

1)Тема: Группы и подгруппы
Группу по сложению образует множество …

	целых чисел
натуральных чисел
натуральных чисел с нулем
действительных чисел без нуля

Тема: Дробно-рациональные функции

Разложение дробно-рациональной функции на простые дроби над полем вещественных чисел имеет вид …

Решение:

Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Тогда

3)Тема: Основные алгебраические структуры
В кольце квадратных матриц второго порядка единичный элемент … – это матрица

Тема: Линейные отображения

Пусть базис пространства Операторы и этого пространства заданы матрицами . Тогда матрица оператора равна

Решение:

Тема: Дробно-рациональные функции
Разложение дробно-рациональной функции на простые дроби над полем вещественных чисел имеет вид …

Тема: Линейные отображения
Линейный оператор отображает базис в векторы: Тогда матрица оператора в этом базисе имеет вид …

Решение:

Тема: Основные алгебраические структуры
В кольце целых четных чисел единичный элемент …

не существует

Решение:
В кольце целых четных чисел единичный элемент не существует.

Тема: Группы и подгруппы
Группу по умножению образует множество …

	действительных чисел без нуля
действительных чисел
целых чисел
натуральных чисел с нулем

Решение:
Группу образует множество действительных чисел без нуля с введенной операцией умножения чисел. Все остальные множества групп не образуют, так как, например, нуль не имеет обратного элемента.

Тема: Группы и подгруппы
Операция «+» – сложения образует группу на множестве …

	целых четных чисел
натуральных чисел
целых нечетных чисел
действительных чисел без нуля

Решение:
Множество целых четных чисел с введенной операцией сложения образует группу. Множество натуральных чисел не группа, так как, например, не имеет противоположного элемента. Множество целых нечетных не имеет нулевого элемента, как и множество действительных чисел без нуля.

Тема: Линейные отображения
Из заданных операторов пространства – пространства трехмерных векторов, линейным является оператор …

Тема: Основные алгебраические структуры
В кольце целых четных чисел единичный элемент …

	не существует
равен
равен
равен

Решение:
В кольце целых четных чисел единичный элемент не существует.

Тема: Основные алгебраические структуры
Подалгеброй алгебры является совокупность …

Решение:
Совокупности и не являются подалгебрами алгебры , так как, .
Совокупность не является подалгеброй алгебры , так как множество не замкнуто относительно умножения.
Совокупность является подалгеброй алгебры , так как и множество замкнуто относительно умножения.

Тема: Группы и подгруппы
Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …

	четных целых чисел
нечетных целых чисел
натуральных чисел
натуральных чисел с нулем

Тема: Дробно-рациональные функции
Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций.
Пусть и , причем и
Тогда числитель произведения равен …

Решение:
Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и :


Тогда .
То есть числитель произведения равен 1.

Тема: Дробно-рациональные функции
Разложение дробно-рациональной функции на элементарные дроби имеет вид …

Решение:
Выполним деление заданных полиномов «уголком»:

Разложим знаменатель на простые множители: .
Тогда

Тема: Группы и подгруппы
Группу по умножению образует множество …

	действительных чисел без нуля
действительных чисел
целых чисел
натуральных чисел с нулем

Решение:
Группу образует множество действительных чисел без нуля с введенной операцией умножения чисел. Все остальные множества групп не образуют, так как, например, нуль не имеет обратного элемента.

Тема: Линейные отображения
Из заданных операторов пространства – пространства трехмерных векторов, линейным является оператор …

Решение:
Линейным называется отображение удовлетворяющее условиям:
,
.
Проверим на линейность оператор :
,
,
Следовательно - первое условие не выполнено, а значит не является линейным оператором.
Для оператора проверим выполнение второго условия:

Условие не выполняется, значит не линейный оператор.
Проверим выполнение второго условия для оператора :

Следовательно, данный оператор не является линейным.
Проверим выполнение условий линейности для оператора :
,
,
Следовательно – первое условие выполнено.
– второе условие выполнено. Поэтому является линейным оператором.

Тема: Основные алгебраические структуры
Подалгеброй алгебры является совокупность …

Решение:
Подалгеброй алгебры , называют совокупность , где , причем замкнуто относительно всех операций из
не является подалгеброй алгебры , так как
и не являются подалгебрами алгебры , так как, не совпадают множества заданных операций.
является подалгеброй алгебры , так как и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на

Тема: Основные алгебраические структуры
является подалгеброй алгебры …

Решение:
является подалгеброй алгебры , так как и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на .

Тема: Дробно-рациональные функции
Разложение дробно-рациональной функции на элементарные дроби имеет вид

Тема: Линейные отображения
Образом вектора при линейном преобразовании, заданном матрицей , является вектор …

Решение:
Так как образ вектора определяется по формуле: , то .

Тема: Основные алгебраические структуры
Подалгеброй алгебры является совокупность …

Решение:
Подалгеброй алгебры , называют совокупность , где , причем замкнуто относительно всех операций из
не является подалгеброй алгебры , так как
и не являются подалгебрами алгебры , так как, не совпадают множества заданных операций.
является подалгеброй алгебры , так как и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на

Тема: Группы и подгруппы
Мультипликативная группа рациональных чисел – это множество рациональных чисел …

	без нуля с операцией умножения
с операцией сложения
с операцией умножения
без нуля с отношением порядка

Решение:
Мультипликативная группа определяется операцией умножения.
Поэтому множество рациональных чисел с операцией сложения и множество рациональных чисел без нуля с отношением порядка не являются мультипликативными группами.
Множество рациональных чисел с операцией умножения не является группой, так как для элемента 0 нет обратного относительно умножения.
Тогда мультипликативная группа рациональных чисел – это множество рациональных чисел без нуля с операцией умножения.

Тема: Дробно-рациональные функции
Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций.
Пусть и , причем и
Тогда числитель суммы равен …

Решение:
Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и :


Тогда

То есть, числитель суммы равен .

Тема: Линейные отображения
Линейное преобразование в базисе имеет матрицу . Тогда матрица этого оператора в базисе , где ; , имеет вид …

Решение:
Матрица оператора в базисе вычисляется по формуле , где – матрица перехода от базиса к базису .
Матрица перехода , тогда . Матрица линейного оператора . Тогда .

Тема: Группы и подгруппы
Коммутативной группой является множество …

	квадратных матриц с введенной операцией сложения
невырожденных квадратных матриц с введенной операцией умножения
натуральных чисел с 0, с введенной операцией сложения
натуральных чисел с введенной операцией сложения

Решение:
Множество квадратных матриц с введенной операцией сложения образует группу: ассоциативность выполняется, нейтральным элементом группы является нулевая матрица, для любой матрицы существует противоположная.
Множество невырожденных квадратных матриц с введенной операцией умножения образует группу, но она не является коммутативной, т.к. не для любых матриц и выполняется равенство .
Множество натуральных чисел (с 0, или без него) с введенной операцией сложения не является группой, т.к. нет противоположного элемента, например, у элемента .

Тема: Основные алгебраические структуры
Для кольца множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой …

	абелеву группу
поле
целостное кольцо
область целостности

Решение:
Для кольца множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой абелеву группу.

Тема: Линейные отображения
Дано линейное преобразование векторов на плоскости , которое каждый вектор переводит в вектор той же длины, но противоположно направленный исходному. Тогда матрица этого преобразования имеет вид …

Решение:
Так как и , то матрица такого линейного преобразования имеет вид .

Тема: Основные алгебраические структуры
В кольце квадратных матриц второго порядка единичный элемент …

	– это матрица
– это матрица
– это матрица
не существует

Тема: Дробно-рациональные функции
Даны два полинома: и
Тогда целая часть от деления полинома на полином равна …

Решение:
Выполним деление заданных полиномов «уголком»:

Тогда:

То есть, целая часть от деления полинома на полином равна

ема: Основные алгебраические структуры
Элемент называется обратным к элементу в группе G с единичным элементом , если …

,

Тема: Группы и подгруппы
Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …

	четных целых чисел
нечетных целых чисел
натуральных чисел
натуральных чисел с нулем

Решение:
Данное подмножество должно быть замкнуто относительно операций сложения и взятия противоположного элемента. Этим условиям удовлетворяет, например, множество четных целых чисел.

Тема: Линейные отображения
Линейным отображением пространства трехмерных векторов на пространство двумерных векторов является …

Решение:
Линейным называется отображение удовлетворяющее условиям:
,
.
Проверим на линейность отображение :
,
,
Следовательно – первое условие не выполнено, а значит не является линейным отображением.
Для отображения проверим выполнение второго условия:

Условие не выполняется, значит не линейное отображение.
Проверим выполнение второго условия для отображения :

Следовательно, данное отображение не является линейным.
Проверим выполнение условий линейности для отображения :
,
,
Следовательно – первое условие выполнено.
– второе условие выполнено. Поэтому является линейным отображением.