ДЕ4. Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дифференциал функции равен

Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке

Равна

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где а-«левая» точка пересечения параболы и оси Ох, , а . Определим точки пересечения параболы и оси , решив уравнение .Получаем: .

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Количество точек разрыва функции равно 2.

Решение:
Точку называют точкой разрыва функции , если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данной функции могут являться точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть . Однако область определения функции определяется как , то есть имеет вид . Тогда имеет 2 точки разрыва. , удовлетворяющие условию .

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид .

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка является точкой разрыва функции …

Решение:
Точку называют точкой разрыва функции , если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данных функций являются точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть , или: . Точка

не является точкой разрыва функции , так как область определения функции имеет вид ,и ;

не является точкой разрыва функции , так как область определения функции имеет вид , и ;

не является точкой разрыва функции , так как область определения функции имеет вид , и .

Таким образом, точка является точкой разрыва функции .

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …

Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью , равна …

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле где и – это точки пересечения параболы и оси , а . Определим точки пересечения параболы и оси , решив уравнение . Получаем: и . Тогда

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дифференциал второго порядка функции равен …

Решение:
Дифференциал второго порядка функции выражается формулой .Тогда вычислив и получаем .

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …

Решение:
При вычислении частной производной по переменной , переменные и рассматриваем как постоянные величины. Тогда
.

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …

			разрыва второго рода
			разрыва первого рода
			непрерывности
			устранимого разрыва

Решение:
Вычислим односторонние пределы функции в точке :
,
.
Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.

Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Дифференциал функции равен …

Решение:
Дифференциал функции выражается формулой .
Тогда вычислив , получаем .

Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке

равна …

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где , , , – «правая» точка пересечения параболы и прямой . Определим значение , решив уравнение . Получаем: . Тогда

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка разрыва функции равна …

Решение:
Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов и меняет свое аналитическое выражение в точках и . Поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывность.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
,
, и .
Так как , то точка является точкой непрерывности данной функции.
Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке:
,
, и .
Так как , то точка является точкой разрыва первого рода.

Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …

Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда