Точки экстремума функции. Экстремумы функции. Необходимый признак экстремума. Критические точки. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале

Пусть – внутренняя точка области определения функции Точка называется точкой максимума функции если для всех отличных от точек некоторой окрестности точки (другими словами, некоторого малого интервала, содержащего внутри себя точку ), выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции если для всех отличных от точек некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции, а значения функции в этих точках – экстремальными (максимальными или минимальными) значениями.

Рис. 62

Возьмём, например, непре-рывную в интервале функ-цию, график которой изображён на рис. 62. Для этой функции – точка максимума, так как значение больше значений функции во всех соседних точках, т. е. оно является наибольшим значением функции в некоторой окрестности точки Аналогично – точка максимума функции Кроме того, и являются точками минимума функции В то же время для функции с графиком, указанным на рисунке, минимальное значение больше – максимального значения этой функции.

Отметим также, что максимальное значение функции, как и минимальное ее значение, определяются для достаточно малого интервала, содержащего точку максимума или минимума функции. Эти значения нельзя путать с наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале Дело в том, что указанные значения функция может принять на концах интервала. Эти значения могут также совпадать с максимальным и минимальным значениями функции. Например, для функции, график которой указан на рис. 62, наибольшим значением функции в интервале является – значение на правом конце интервала, а наименьшее значение функции здесь совпадает с одним из минимальных значений

Из сказанного следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на нужно поступить так:

· найти все максимальные и минимальные значения функции в интервале ;

· вычислить значения этой функции на концах интервала ;

· из всех найденных значений выбрать наибольшее, а затем наименьшее.

Эти значения будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале

Теорема 3 (необходимый признак экстремума функции).Если дифференцируемая функция в точке имеет экстремум, то её производная в этой точке обращается в нуль, т. е.

Доказательство.Пусть – точка экстремума функции например, точка ее максимума. Это означает, что значение функции в этой точке является наи-большим значением функции в некотором, достаточно малом интер-вале, содержащем внутри себя точку Но тогда согласно теореме Фер-ма производная в точке равна нулю, т. е. Теоре-ма доказана.

Однако в точке экстремума производная функции может не существовать. Покажем это на примере функции В точке она принимает значение, равное нулю, которое является минимальным значением так как значения функции положительны во всех соседних точках Производная этой функции в точке не существует. График функции показан на рис. 63.

Заметим, что не всякая точка, в которой производная функции обращается в нуль или не существует, является точкой экстремума. Покажем это на примере функции производная которой В точке производная обращается в нуль. Но эта точка не является точкой экстремума функции. В самом деле, для всех , отличных от нуля, производная положительна. Отсюда согласно доста-точному признаку возрастания функции получаем, что функция возрастает и слева, и справа от точки следовательно, не есть точка экстремума. Эта функция имеет график, показанный на рис. 64.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками функции Как мы видели, не всякая критическая точка является точкой экстремума функции