Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях

Дана функция которая дифференцируема в интервале Пусть – произвольная фиксированная точка этого интервала, тогда в этой точке существует производная . Это означает, что существует конечный предел (3) (см. §2) где есть приращение функции в точке соответствующее приращению Отношение есть функция от (здесь – фиксированная величина, а изменяется и стремится к ). Эта функция при имеет предел равный определённому числу, так как – фиксированная величина. Значит (теорема 8 главы 4), эта функция может быть представима в виде суммы своего предела и бесконечно малой функции: где – бесконечно малая функция (т. е. при ). Отсюда, умножив обе части последнего соотношения на получим

(33)

Будем считать, что в рассматриваемой точке производная Тогда при произведение есть бесконечно малая функция одного порядка с бесконечно малой функцией так как предел их отношения существует и не равен нулю. Ясно, что также является бесконечно малой функцией одного порядка с бесконечно малой функцией так как предел их отношения существует и не равен нулю. В формуле (33) и суть бесконечно малые функции одного порядка с бесконечно малой функцией Второе слагаемое правой части этой формулы есть бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с , так как предел их отношения существует и равен нулю: В этой ситуации первое слагаемое правой части (33) называется дифференциалом функции и обозначается Итак,

(34)

Здесь – приращение аргумента, которое выбирается нами независимо от и может не быть бесконечно малой, но если – бесконечно малая величина ( ), то дифференциал (34) есть также бесконечно малая величина одного порядка с как и приращение входящее в (33). Указанный дифференциал отличается от приращения на величину более высокого порядка малости, чем В этом случае говорят, что бесконечно малая является главной частью бесконечно малой Формула (34) для случая, когда , имеет вид так как . Таким образом, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу (34) можно записать так:

(35)

Отсюда Таким образом, производная представляет собой отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Дифференциал функции при малых отличается от приращения функции на величину , значительно меньшую, чем , и, следовательно, . Последнее соотношение используется в приближенных вычислениях. Запишем его с учетом выражений для следующим образом: Для примера запишем это соотношение для функции :

(36)

В этом соотношении положим , . Тогда . Зная, что по формуле (36) найдём приближённое значение

28. Производные и дифференциалы высших порядков

Дана функция , дифференцируемая в интервале т. е. в каждой точке этого интервала существует производная Эта производная в свою очередь является функцией от следовательно, если она дифференцируема в интервале то от неё можно взять производную по , т. е. Последняя называется второй производной или производной второго порядка от функции и обозначается или Но вторая производная есть в свою очередь функция от поэтому от неё можно взять производную по если последняя существует. Получаемая производная называется производной третьего порядка и обозначается Продолжив процесс, найдем производную любого порядка от функции Обозначают эту производную

Пусть функция дифференцируема в интервале Тогда согласно (35) можно найти дифференциал этой функции . Здесь дифференциал аргумента не зависит от но в целом есть функция от поэтому от нее можно найти дифференциал , если в рассматриваемом интервале существует вторая производная . Этот дифференциал называется дифференциалом второго порядка от функции и обозначается Имеем Но согласно (35) дифференциал правой части равен производной по от , умноженной на Итак, Здесь за знак производной может быть вынесена постоянная величина В результате получим и Но правая часть последнего соотношения представляет собой функцию от следовательно, от второго дифференциала в свою очередь можно найти дифференциал, если существует третья производная функции . В результате получим дифференциал третьего порядка, обозначаемый По аналогии с предыдущим будем иметь Продолжив процесс, найдём дифференциал любого порядка , если у функции в интервале существует производная n-го порядка: В последней формуле в выражении степень пишут без скобок, тогда Отсюда т. е. -я производная представляет собой отношение соответствующих дифференциалов.