Бесконечно малые функции, их свойства

Функция называется бесконечно малой при , если её предел равен нулю, т. е. . Здесь предел , поэтому . С учётом определения предела функции можно дать следующее определение бесконечно малой функции: функция называется бесконечно малой при , если для любого найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство или символически

Например, функция является бесконечно малой при . В самом деле, здесь неравенство запишется так: или , т. е. . Итак, для всех имеем для любого . Это означает, что есть бесконечно малая функция при , и в качестве числа , фигурирующего в определении, можно взять .

При других способах изменения определение бесконечно малой функции будет аналогичным (с учётом определения предела). Например, функция является бесконечно малой при ( – конечное число), если

Свойства бесконечно малой функции

Теорема 4. Если – бесконечно малые функции при , то их сумма также является бесконечно малой функцией, при .

Доказательство. Пусть – произвольное число, которое может быть задано сколь угодно малым. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство .

Для указанного числа возьмём число . Так как является бесконечно малой функцией, то для числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство

. (5)

Так как – бесконечно малая функция при , то найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство

. (6)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для имеют место оба неравенства (5), (6). Поэтому с учётом свойства абсолютной величины суммы имеем для всех

Теорема доказана.

Если – бесконечно малая функция, то -тоже является бесконечно малой функцией. Это ясно из определения, так как . Ясно также, что разность двух бесконечно малых функций есть снова бесконечно малая функция, т. к. разность можно записать в виде суммы .

Доказанная теорема сразу распространяется на любое конечное число слагаемых бесконечно малых функций. Можно сказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функция.

Теорема 5.Если – бесконечно малая функция при , а – ограниченная функция на некотором бесконечном интервале , то произведение – бесконечно малая функция при .

Доказательство. Пусть – произвольное число, которое может быть задано сколь угодно малым. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство Это будет означать, что рассматриваемое произведение есть бесконечно малая функция при . Так как – ограниченная функция в интервале , то существует такое число , что для всех точек интервала , т. е. для всех , имеет место неравенство

. (7)

Так как является бесконечно малой функцией при , то для числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство

. (8)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для всех неравенства (7) и (8) выполняются одновременно, поэтому с учётом свойства абсолютной величины произведения для всех имеем

Теорема доказана.