Единственность предела. Ограниченные функции

Сложная функция

Определение сложной функции.Дана функция , причём аргумент является функцией от , т. е. . Область значений функции является частью области определения функции . Следовательно, каждому из области определения отвечает определённое значение , а этому значению отвечает определённое значение . Таким образом, каждому указанному отвечает определённое значение . Это означает, что есть функция от . Она называется сложной функцией от и записывается в виде , где – внутренняя функция, – внешняя функция, – промежуточный аргумент. Например, пусть где , тогда получим сложную функцию .

Предел функции.

1.Пусть – переменная величина, которая принимает положительные значения и неограниченно увеличивается. В этом случае будем говорить, что стремится к плюс бесконечности и писать . Пусть при этом заданная функция принимает значения, всё более и более близкие к некоторому числу , в том смысле, что величина уменьшается и приближается к нулю. В этом случае будем говорить, что число есть предел функции при .

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа каким бы малым оно ни было, найдётся такое положительное число что для всех выполняется неравенство т. е. символически В этом случае будем писать

2. Пусть переменная принимает отрицательные значения, и абсолютная величина возрастает. В этом случае говорят, что . Дадим определение предела функции при символически. Число называется пределом функции при , если В этом случае пишут .

3. Пусть изменяется, принимая как положительные, так и отрицательные значения, абсолютная величина неограниченно увеличивается. Тогда говорят, что стремится к бесконечности, и пишут . Число называется пределом функции при , если для любого положительного найдётся такое число , что для всех , абсолютная величина которых , имеет место неравенство т. е.

В этом случае пишут .

4. Пусть – заданное число. Рассмотрим предел функции , когда и . Число называется пределом слева функции при , если для любого числа найдётся такое число что для всех точек интервала выполняется неравенство , каким бы малым ни было. Сказанное можно записать символически в виде

В этом случае пишут .

По аналогии дадим определение предела функции справа при . Число называется пределом функции при справа, если

В этом случае пишут .

5. Число называется (двусторонним) пределом функции при , если для любого числа , каким бы малым оно ни было, найдётся такое число что для всех точек интервала отличных от , выполняется неравенство , т. е.

В этом случае пишут .

Единственность предела. Ограниченные функции.

Теорема 1. Если функция имеет предел при , то этот предел будет единственным.

Доказательство. Дано, что функция при имеет предел . Докажем, что никакое другое число, например, , не может быть пределом этой функции при .

Возьмём таким малым, чтобы было . Так как – предел функции при , то для выбранного нами числа найдётся такое число , что для всех значения функции будут удовлетворять неравенству (1), следовательно, и (2). Поэтому для всех имеем

. (3)

Предположим, что . Тогда для выбранного выше числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . Следовательно, для всех будем иметь

. (4)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для всех выполняются оба неравенства (3), (4). Из них получим, что . Но это противоречит условию, что , поэтому сделанное предположение должно быть отброшено.

Функция называется ограниченной на некотором множестве значений , если существует такое положительное число , что для всех из множества выполняется неравенство .

Теорема 2. Если функция при имеет предел, то эта функция является ограниченной на некотором бесконечном интервале .

Доказательство. Дано, что . Для числа (как и для любого ) найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . Согласно свойству абсолютной величины . Поэтому для всех имеет место . Итак, для имеем , следовательно, для всех будем иметь . Это означает, что функция ограничена в интервале . Теорема доказана.

Теорема 3. Если при функция имеет отличный от нуля предел , то функция ограничена на некотором бесконечном интервале .

Теорема доказывается аналогично предыдущей.