Конвективные потоки, возникающие над тепловыми источниками компактной формы

Найдем распределение скорости движения и температуры воздуха в конвективном потоке, образованном компактным тепловым источником небольших размеров. Воспользуемся цилиндрическими координатами z и r. Ось z направим вертикально вверх от центра теплового источника. R будем обозначать расстояние произвольной точки пространства до оси z.

Решение задачи строится на следующих четырех предпосылках:

Приращение импульса конвективного потока между поперечными сечениями на уровнях z и z+dz равно подъемной силе dPz , действующей на нагретый воздух, находящийся между этими же сечениями:

(2.46)

Количество тепла Qz, проводимое нагретым воздухом через произвольное поперечное сечение конвективного потока, равно конвективной теплопроизводительности источника Q₀

(2.47)

Распределение скорости в поперечном сечении конвективного потока подчиняется нормальному закону распределения

(2.48)

где v – скорость нагретого воздуха соответственно в произвольной точке и на оси конвективного потока.

Распределение избыточных температур также подчиняется нормальному закону

(2.49)

(2.50)

(2.51)

c = 0.082, s = 0.8 – эмпирические константы.

Импульс конвективного потока представляет собой произведение потока массы на скорость и в условиях неравномерно распределения скорости выражается интегралом

(2.52)

где (2.53)

Решая (2.52) получим

(2.54)

Приращение подъемной силы следует из закона Архимеда и в условиях неравномерного распределения плотности воздуха по площади поперечного сечения выражается интегралом

(2.55)

Уравнение газового состояния позволяет заменить избыточную плотность воздуха избыточной температурой

(2.56)

Теперь выражение (2) можно записать иначе:

(2.57)

Совместное решение последнего уравнения с уравнениями (3.1), (3.4) и (3.8) определяет приращение текущего импульса конвективного потока

(2.58)

Количество избыточного тепла, проводимого через поперечное сечение конвективного потока в условиях неравномерного распределения скорости и температуры, выражается интегралом

(2.59)

(2.60)

Конвективная теплопроизводительность источника Q₀ является количественной характеристикой теплового источника и должна войти в виде параметра во все расчетные формулы.

Мы получили систему трех уравнений, содержащих четыре переменные: текущий импульс потока I_z , скорость и избыточную температуру на оси потока v_z , DT и уровень произвольного поперечного сечения потока z.

Исключим из (2.58) избыточную температуру DT_z :

(2.61)

Из уравнения (2.60) исключим v_z. В результате получим дифференциальное уравнение, связывающее текущий импульс и произвольный уровень конвективного потока:

(2.62)

Проинтегрируем уравнение в пределах от нуля до текущих значений функции и аргумента

(2.63)

Получим выражение, показывающее, как изменяется импульс конвективного потока с высотой:

(2.64)

Далее получим значение скорости на оси конвективного потока

, (2.65)

а с помощью уравнения (3.15) – значение избыточной температуры на оси конвективного потока

(2.66)

Подстановка значений осевой скорости и избыточной температуры в уравнения (2.65) и (2.66) приводит к зависимостям, при помощи которых можно оценить вертикальную составляющую скорости движения и избыточную температуру воздуха в любой точке пространства:

(2.67)

Если уравнения (2.67) относительно радиуса, получим формулы для построения линий равных скоростей (изотах) и избыточных температур (изотерм).

Секундный объемный поток нагретого воздуха в поперечном сечении конвективного потока выражается интегралом

(2.68)

Подстановка в эту формулу осевой скорости (из формулы 3.22) приводит к уравнению расхода воздуха в конвективном потоке на уровне z:

(2.69)

Кинетическая энергия, которой обладает конвективный поток на произвольном уровне, выражается интегралом

(2.70)

Интегрируя, получим:

(2.71)

Кинетическая энергия конвективного потока увеличивается пропорционально тепловой мощности источника и пройденному пути. Найдем скорость радиального движения окружающего воздуха по направлению к конвективному потоку.

Приращение секундного объема воздуха восходящего потока на элементарном участке высотой определится дифференцированием (3.24):

(2.72)

Элементарная площадь , через которую окружающая среда подтекает к конвективному потоку, представляет собой боковую поверхность цилиндра радиусом к и высотой :

(2.73)

Почленное деление (3.27) на (3.28) дает формулу, в которой скорость радиального движения среды к конвективному потоку представлена в зависимости от координат:

. (2.74)

Полученные формулы применимы для свободно развивающихся тепловых потоков, не стесненных ограничивающими поверхностями.