Компактные воздушные фонтаны, истекающие

Под углом к горизонту

Рис. 2.6. Воздушный фонтан, истекающий под углом к горизонту

Если плотность приточного воздуха не отличается от плотности воздуха помещения, струя распространяется прямолинейно вдоль луча Os, причем уравнение ее оси выражается в виде . При истечении нагретого воздуха струя изгибается вверх и отклоняется от луча на отрезка z_п . В этом случае уравнение изогнутой оси воздушного фонтана должно быть представлено двучленом

(2.93)

Для оценки величины z_п выделим в области центрального потока элементарный объем воздуха dV и проследим за его перемещениями.

Масса выделенного объема воздуха

(2.94)

Подъемная (архимедова) сила, действующая на этот объем,

(2.95)

Вертикальное ускорение, вызванное действием силы,

(2.96)

Замена отношения плотности соответствующим отношением температур дает:

(2.97)

Ускорение является производной скорости по времени

(2.98)

а элементарное время можно выразить посредством отрезка пути в направлении оси s и скорости частицы в том же направлении

(2.99)

Поэтому для вертикального ускорения можно получить иное выражение:

(2.100)

Сравнивая уравнения (2.97) и (2.98), найдем, что скорость вертикального перемещения выделенного объема воздуха определяется интегралом

(2.101)

Скорость движения и температура воздуха на оси приточных струй одинаково зависят от расстояния, и эта зависимость обобщается равенством

(2.102)

Но скорость является производной пути по времени:

(2.103)

Исключая время по условию (2.99), получим другое выражение для скорости вертикального перемещения:

(2.104)

Сравнение уравнений (5) и (6) приводит к интегралу, определяющему искомое вертикальное перемещение выделенного объема воздуха:

Для воздушного фонтана, образованного компактной струей, связь между скоростью и расстоянием выражается зависимостью

(2.105)

Теперь интеграл легко берется:

(2.106)

Замена координаты s на и подстановка значений z_п в исходное уравнение приводят к уравнению изогнутой оси компактного фонтана нагретого воздуха, истекающего под углом к горизонту:

(2.107)

Представим полученное уравнение в другой записи:

(2.108)

где посредством H обозначен комплекс величин, названный геометрической характеристикой компактного воздушного фонтана.

(2.109)

Геометрическая характеристика представляет собой линейный размер, которым однозначно измеряются все характерные размеры воздушного фонтана. В свою очередь она целиком определяется начальными условиями истечения фонтанирующей струи. Характеристику воздушного фонтана можно выразить иначе – посредством секундного количества подаваемого воздуха и площади приточного отверстия:

(2.110)

или скорости истечения

(2.111)

Для того, чтобы оперировать с положительными значениями начальной разности температур и угла наклона (если они отрицательны), в уравнении (2.108) поставлены два знака, причем знак плюс соответствует истечению нагретой струи вверх или охлажденной струи вниз, а знак минус – истечению нагретой струи вниз или охлажденной струи вверх.

В случае горизонтального истечения уравнение оси воздушного фонтана упрощается:

(2.112)

Выявим расстояние, на котором ось горизонтального воздушного фонтана не слишком сильно отходит от направления истечения.

Тангенс угла наклона между касательной к оси воздушного фонтана и горизонтальной осью x есть производная dz/dx. Отсюда расстояние, на котором касательная к изогнутой оси воздушного фонтана будет составлять с осью x заданный угол ,

(2.113)

До какого расстояния воздушный фонтан можно рассматривать как приточную струю, т.е. где касательная к оси воздушного фонтана наклонена к оси x не более чем, например, на 15 градусов?

Ответ следует из формулы

Округленно

(2.114)

Поставим следующий вопрос: начиная с какого расстояния воздушный фонтан можно рассматривать как конвективный поток, т.е. где касательная к оси воздушного фонтана наклонена к оси x не менее чем, например, на 75 ?

Ответ следует из той же формулы

. (2.115)

Таким образом, на расстоянии, меньших 0.5H, направление воздушного фонтана мало отличается от направления, истечения приточной струи, а на расстояниях, превышающих 2H , мало отличается от вертикального направления конвективного потока.

Рассмотрим форму воздушного фонтана охлажденного воздуха, направленного под некоторым углом b выше горизонта. Подобно струе воды воздушный фонтан описывает в вертикальной плоскости дугу.

Расстояние между точками пересечения изогнутой струи фонтана и уровнем приточного отверстия назовем дальнобойностью воздушного фонтана. Она определяется из основного уравнения (2.108) и условия z = 0.

(2.116)

При горизонтальном и вертикальном истечении воздушного фонтана дальнобойность отсутствует.

Имеется, следовательно, некоторый оптимальный угол, истечения воздушного фонтана, обеспечивающий максимальную дальнобойность. Тангенс этого угла найдется из уравнения и составит , т.е. .

Максимальная дальнобойность воздушного фонтана, соответствующая оптимальному углу истечения,

Характер взаимодействия воздушных фонтанов с окружающим воздухом в помещении представлен на рис.2.7.