Силы и моменты в механике сплошной среды

Силы, распределенные по объему W, называются объемнымиили массовыми. Они обозначаются и относятся к элементу массы Dm = rDW. Т.е. сила, действующая на элемент массы, равна Dm = rDW, следовательно, размерность совпадает с размерностью ускорения. Примерами массовых сил могут служить гравитационные, электромагнитные, инерционные.

Силы, распределенные по поверхности S, называются поверхностными. Поверхностные силы будем обозначать вектором и относить к элементу поверхности DS сплошной среды. Т.е. имеет размерность давления. Такие силы возникают, например, на свободной поверхности среды, при взаимодействии среды с твердыми телами, а также внутри среды (внутренние поверхностные силы).

Внутренние поверхностные силы необходимо рассматривать при изучении движения отдельных частиц среды с учетом их механического влияния друг на друга. Так, например, происходит при относительном движении двух соседних соприкасающихся частиц. Это явление может наблюдаться в любом месте сплошной среды, причем для бесконечно малых частиц поверхности соприкосновения dS можно построить любым образом. Тогда и , зависящее от такого выбора, можно определить по-разному в зависимости от dS, т.е. ориентации нормали этой площадки, поэтому такое взаимодействие обозначим вектором _S. В силу третьего закона Ньютона на одну из пары соприкасающихся частиц действует сила _SdS, на другую – _SdS. Однако если соприкосновения нет, т.е. если движение имеет разрыв каких-то своих характеристик, то последнее условие может нарушаться.

Вектор _S в общем случае не перпендикулярен к dS, поэтому различают нормальную составляющую p_Sn, называемую нормальным напряжением или нормальным давлением, и тангенциальную p_St, называемую касательным напряжением или внутренним трением: _SdS= p_Sn dS+p_Stt dS.

Свойство вектора _S рассмотрим с помощью представления бесконечно малой частицы в виде тетраэдра с ребрами, параллельными осям координат (рис. 1.2). Площади граней такого тетраэдра равны S, S×cos( ,x), S×cos( ,y), S×cos( ,z).

Массовые силы будем считать постоянными во всем объеме W = hS/3 бесконечно малой частицы, а поверхностные силы ₁, ₂, ₃, _S постоянными на своих гранях. Это позволит применить к частице начало Даламбера из теоретической механики:

откуда, сократив на S, и перейдя к пределу при h ® 0, получаем инвариантное к выбору площадки равенство:

. (1. 12)

Это означает, что существует некоторый объект P, компонентами которого можно рассматривать векторы , или даже элементы матрицы (p_ij) – матрицы из компонент векторов . Объект P с компонентами p_ij называется тензором внутренних напряжений.