Уравнение движения сплошной среды

В теоретической механике известно уравнение количества движения материальной точки:

,

где в правой части равенства стоит сумма всех действующих на нее сил. Обобщим это уравнение на конечный объем сплошной среды, состоящей из частиц, как системы материальных точек, подверженных действию объемных и поверхностных сил:

(1.13)

Первый член левой части этого уравнения представляет собой отнесенное к единичному объему изменение количества движения в этом объеме за единицу времени, второй член - отнесенное к единичному объему изменение количества движения за счет конвекции в этом объеме за единицу времени.

Первый член правой части есть отнесенная к единице объема массовая сила, второй член – отнесенные к единице объема поверхностные силы.

Используя уравнение неразрывности получаем следующее:

(1.14)

Для ньютоновских жидкостей напряжение на некоторой площадке пропорционально скорости деформации сплошной среды (жидкости). При этом связь между давлением, скоростью деформации и компонентами тензора напряжений имеет вид:

(1.15)

где δ_i,j – символ Кронекера (δ_i,j = 1, если i=j, и δ_i,j = 0, если i≠j), u₁, u₂, u₃ – компоненты вектора скорости , x₁, x₂, x₃ –координаты радиус-вектора точки, μ – коэффициент динамической вязкости, μ’ – второй коэффициент вязкости, связанный с объемной вязкостью .

Обычно объемной вязкостью пренебрегаю (кроме случаев рассмотрения распространения ударных, акустических волн), тогда выражение для тензора напряжений можно записать в виде:

(1.16)

Тензор напряжений разделяют на две части:

, (1.17)

где первое слагаемой в правой части – компоненты нормальных напряжений, а второе – касательных или вязких:

(1.18)

Течение несжимаемой вязкой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости описывается следующим уравнением:

. (1.19)

Или

(1.20)

В проекции на декартову систему координат имеем три скалярных уравнения:

(1.21)

Выделив в уравнениях компоненты тензора вязких напряжений, получим:

(1.22)

где компоненты тензора имеют вид:

(1.23)

Применение первого закона термодинамики к жидкости, протекающей через бесконечно малый объем приводит к следующему уравнению энергии:

, (1.24)

где E_t – полная энергия единицы объема.

Первый член в левой части уравнения есть изменение полной энергии контрольного объема в единицу времени, второй – изменение полной энергии за счет конвекции через поверхность, ограничивающую контрольный объем, в единицу времени. Первый член в правой части – скорость тепловыделения внешних источников, отнесенная к единице объема; второй член – теплопотери за счет теплопроводности через контрольную поверхность в единицу времени; третий член – отнесенная к единице объема работа массовых сил над контрольным объемом; четвертый член – отнесенная к единице объема работа поверхностных сил над контрольным объемом.

Последние два слагаемых правой части можно заменить диссипативной функцией Ф, являющейся тепловым эквивалентом механической мощности, затрачиваемой на вязкую деформацию жидкости.

(1.25)

В декартовой системе координат диссипативная функция принимает вид:

(1.26)

Введем величину энтальпии и получим:

(1.27)

Используя закон Фурье для переноса энергии за счет теплопроводности:

, (1.28)

получаем:

(1.29)

Таким образом полную термодинамическую систему массообмена в газе составляют три уравнения: неразрывности, Навье-Стокса и энергии.

Виды сплошной среды

Экспериментальные данные показывают, что большинство сред обладает специфическим свойством: отсутствием или малостью касательных напряжений p_St, т.е. вектор _S можно считать перпендикулярным любой площадке взаимодействия dS и равным нормальному напряжению p_Sn. Среду, обладающую таким свойством называют идеальной жидкостью или идеальным газом. Близки к таковым обычные воздух и вода при малых скоростях.

Понятно, что идеальная жидкость не единственно возможная модель сплошной среды, позволяющая определить компоненты тензора внутренних напряжений. Можно, например, рассматривать его компоненты как функции от деформации частицы: в этом случае среда называется упругой. В частном случае линейности это соотношение приобретает вид закона Гука. Изучением таких сред занимается теория упругости.

Особое место в механике сплошной среды занимает модель вязкой жидкости, предполагающая связь тензора внутренних напряжений с частными производными скорости по координатам. Имеется в виду эффект "трения" слоев вязкой жидкости между собой при наличии разности их поступательных скоростей. В частном случае линейности связь представляется в виде закона Навье-Стокса (или обобщенного закона вязкости Ньютона).

В теории вязкой жидкости m называется коэффициентом внутреннего трения или динамическим коэффициентом вязкости, – кинематическим коэффициентом вязкости (коэффициен­том линейной вязкости), – вторым коэффициентом вязкости (коэффициентом объемной вязкости). Размерность m, l и z в СИ: .

Нетрудно видеть, что упомянутые модели для идеальной и вязкой жидкости вводят еще одну неизвестную – давление p. Т.е. для замыкания системы уравнений движения сплошной среды оказывается необходимым еще одно скалярное соотношение. В этом качестве чаще всего применяются уравнения, представляющие различные гипотезы связи плотности и давления:

.

Если такое соотношение можно ввести, то жидкость называется баротропной. Выделяются следующие частные случаи.

1. – случай несжимаемой жидкости, или .

2. , где C – постоянная, – случай изотермического процесса.

3. , где C и n – постоянные, – случай политропического процесса, n называется показателем политропы.

4. – уравнение Клапейрона-Менделеева для совершенного газа, где – универсальная газовая постоянная, – масса вещества в кг, численно равная молекулярному весу, T – абсолютная температура, которую необходимо задавать еще одним дополнительным соотношением.