Кинематика поступательного движения твердого тела МТ

Вопросы к экзамену (зачету).

1.Кинематика поступательного движения МТ. Векторный способ описания движения. Радиус-вектора. Путь и перемещение. Скорость и ускорение.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые обуславливают это движение, т. е. в ней дается только математическое описание механического движения тел безотносительно к причинам, вызывающих конкретный вид движения.

Кинематика изучает механическое движение тела без рассмотрения причин вызывающих и изменяющих это движение.

Тело отсчета – это тело по отношению к которому определяется положение других тел.

Системой отсчета называется система координат, снабженная часами и жестко связанная с телом отсчета, по отношению к которому определяется положение других тел в различные моменты времени.

Векторный способописания движения основывается на задании радиус-вектора материальной точки (м.т.).

Радиус-вектор– это вектор, соединяющий начало координат с положением материальной точки в данный момент времени.

Приращение радиус-вектора называется вектором перемещения м.т.

 

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки:

– пройденный путь.

Вектор перемещения направлен вдоль хорды, стягивающей соответствующий участок траектории в случае криволинейного движения.

 

 

Скорость.

Скорость определяет быстроту, и направление движения материальной точки в данный момент времени.

Скорость –ВФВ, характеризующая процесс изменения пространственного положения движущейся материальной точки равная перемещению, совершаемому точкой за единицу времени.

Различают:

1) среднюю скорость;

2) мгновенную скорость;

3) среднюю путевую скорость.

Средняя скорость.

Средняя скорость - ВФВ, характеризующая быстроту движения на данном участке и равная отношению приращения радиус-вектора к рассматриваемому промежутку времени Dt:

 

 

Вектор средней скорости всегда совпадает по направлению с вектором перемещения:

 

 

Размерность скорости[u] = 1 м/с

 

 

При неограниченном уменьшении промежутка времени Δt средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью.

Мгновенная скорость u– ВФВ, характеризующая быстроту движения в данный момент времени и равная пределу отношения приращения радиус-вектора к бесконечно малому промежутку времени Δt, в течение которого это приращение произошло:

 

 

Вектор мгновенной скорости u разложим на три составляющие по координатным осям:

 

Проекции вектора скорости:

Модуль вектора скорости :

 

Направление вектора совпадает с направлением вектора элементарного перемещения точки , т. е. он направлен всегда по касательной к траектории.

По мере уменьшения Δt путь Δl все больше будет приближаться к , поэтому модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

Средняя путевая скорость– СФВ, характеризующая среднюю быстроту изменения со временем пути и равная отношению пройденного пути Δl ко времени Δt, за которое этот путь был пройден:

 

 

где l – путь, пройденный точкой за время t.

Для криволинейного движения: , т.к.

Для прямолинейного движения: ,т.к. .

Ускорение.

Быстроту изменения скорости с течением времени характеризует величина называемая ускорением.

Ускорение – ВФВ, характеризующая процесс изменения скорости с течением времени и равная приращению скорости за единицу времени.

Различают среднее и мгновенное ускорения.

Среднее ускорение.

Среднее ускорение –ВФВ, характеризующая среднюю быстроту изменения скорости м.т. на всем пути и равная отношению приращения скорости к промежутку времени, в течение которого это произошло.

 

Ускорение имеет размерность [a] = 1 м/с²

Мгновенное ускорение– ВФВ, характеризующая быстроту изменения скорости в данный момент времени и равная пределу отношения приращения скорости к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого это приращение произошло:

 

Таким образом, ускорение равно первой производной скорости по времени t, или второй производной радиус-вектора по времени t.

Вектор мгновенного ускорения разложим на три составляющие по координатным осям x, y, z:

Проекция вектора ускорения на координатные оси:

Модуль вектора ускорения :

Вывод:определение скорости и ускорениясводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производных по времени радиуса вектора этой точки.

Кинематика поступательного движения твердого тела МТ.

Поступательное движениеявляется простейшим видом механического движения твердого тела, при котором прямая, соединяющая любые две точки этого тела, перемещаясь вместе с телом, остается параллельной своему первоначальному направлению.

Где- радиусы-векторы точек А, В, С и произвольной точки М тела.

Следовательно,

Вывод:из этих соотношений следует, что для кинематического описания поступательного движения твердого тела и МТ достаточно рассмотреть движение какой либо одной его точки.

 

2.Координатный и естественный способы описания движения. Проекция. Тангенциальное и нормальное ускорение.

Координатный способ.

Координатный способзадает положение тела в пространстве с помощью координат тела.

Переход от векторного описания движения к координатному осуществляется путем проектирования.

Проекции радиус-вектора на координатные оси равны соответствующим координатам м.т.:

r_x = x; r_y = y; r_z = z.

Обратный переход осуществляется с помощью теоремы Пифагора и направляющих косинусов:

 

Направляющие косинусы:

Числом степеней свободы называется число независимых координат, полностью определяющих положение точки (тела) в пространстве относительно выбранной системы отсчета.

Законом движения материальной точки называется уравнение, выражающее зависимость ее радиуса-вектора от времени:

Спроектировав данное уравнение на оси координат, тогда зададим движение тела в прямоугольной (декартовой) системе координат:

Данные уравнениякинематическими уравнениями движения материальной точки.

Траекториейназывается линия, которую описывает материальная точка при своем движении относительно выбранной системы отсчет.