Векторное произведение

Введем, в первую очередь, следующее понятие.

Определение.Упорядоченная тройка векторов , , называется правой, если, будучи отложенными из одной точки, они направлены таким образом, что глядя с конца вектора на плоскость, образованную векторами и , кратчайший поворот от вектора к вектору будет осуществляться против часовой стрелки. В обратном случае указанная тройка векторов называется левой.

Примером правой тройки векторов может служить упорядоченная тройка единичных ортов , , .

Определение.Векторным произведением вектора на вектор (обозначается ) называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) вектор перпендикулярен и вектору , и вектору ;

2) длина вектора определяется равенством:

,

где - угол между векторами и ;

3) тройка векторов , , - правая.

Заметим, что второе условие последнего определения означает, что длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, если отложить их из одной точки.

Рассмотрим основные свойства векторного произведения.

1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда либо векторы коллинеарны, либо один из них является нулевым.

Доказательство. Из определения нулевого вектора следует, что векторное произведение равно такому вектору тогда и только тогда, когда длина векторного произведения равна нулю:

.

Последнее произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е. когда либо вектор - нулевой, либо вектор - нулевой, либо . Условие равносильно тому, что векторы и - коллинеарны. ■

2. Для любых векторов и выполняется равенство:

.

Доказательство. Данное утверждение непосредственно следует из определения векторного произведения с учетом того, что если поменять векторы и в векторном произведении местами, то изменится ориентация тройки, а именно , , - левая тройка векторов. Так как при этом не меняются длина векторного произведения, а меняется лишь на противоположное его направление, то

. ■

3. Для любых векторов , и для любого числа справедливо равенство:

.

Доказательство. Докажем равенство

.

Оно очевидно выполняется, если один из векторов , является нулевым или число равно нулю. Пусть , , . Покажем, что векторы и имеют одинаковую длину. По определению векторного произведения имеем:

,

где - угол между векторами и . При этом угол равен углу между векторами и , если , и равен углу , если . В любом случае получаем:

.

Кроме того, векторы и имеют одно и то же направление – направление вектора , если , и направление вектора . Если . Таким образом

.

Аналогично показывается, что

. ■

4. Для любых векторов , и справедливо равенство:

.

Доказательство. Если вектор - нулевой, то доказываемое равенство очевидно. Пусть теперь . Рассмотри единичный вектор . Отложим векторы и из одной точки и построим плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную вектору . Пусть - конец вектора , а - проекция точки на построенную плоскость. Повернем вектор вокруг точки в указанной плоскости на по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . В результате получим вектор . Покажем, что . Действительно,

,

где - угол между вектором и вектором . При этом вектор перпендикулярен и вектору и вектору . В соответствии с построением тройка , , является правой. Следовательно,

.

Отложим вектор из точки . Пусть при этом - конец вектора . По определению суммы векторов имеем:

.

Пусть - проекция точки на построенную плоскость. Повернем вектор вокруг точки в указанной плоскости на по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . Получим вектор . По аналогии получаем:

,

.

Так как

,

То в результате будем иметь:

.

Умножим обе части полученного равенства на . В итоге получаем требуемое равенство:

. ■

На практике при нахождении векторного произведения обычно пользуются следующим утверждением.

Теорема.Пусть в ортонормированном базисе , , заданы два вектора:

,

.

Тогда векторное произведение может быть найдено по формуле:

.

Доказательство. Воспользуемся свойствами 3,4 векторного произведения. В соответствии с ними получим:

.

Из свойства 1 векторного произведения следует:

.

Кроме того, так как система векторов , , - ортонормированная с правой ориентацией, то справедливы равенства:

,

,

.

С учетом свойства 2 векторного произведения в результате получаем:

,

что и требовалось доказать. ■

Пример.Даны вершины треугольника , и . Вычислить площадь этого треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины .

∆ Найдем векторы и :

,

.

Для нахождения площади треугольника найдем векторное произведение .

Из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на найденных векторах, равна длине их векторного произведения. Следовательно, площадь треугольника равна половине площади этого параллелограмма и, соответственно, равна

.

Для нахождения высоты, опущенной из вершины , найдем длину основания :

.

Воспользуемся известной формулой нахождения площади треугольника через его высоту:

,

где - высота треугольника, опущенная из вершины . Следовательно, высота определяется следующим образом:

. ▲